Dospew dice:
El desafío era bastante elemental pese a ocultar los radios de la parte curva y esconder las velocidades en la fracción decimal. El hecho de que todo girase en torno a esa k y los radios me pareció suficiente para el desafío. La k en 1,025 era para facilitar el cálculo ya que yo usaba un método que no sabía justificar y que vosotros ó conocíais o lo justificasteis. Rubenman me envió uno muy simple y Pardillano otro más elaborado que justificaban su empleo, los añado a las soluciones recibidas. Super o Sebas me remitieron a la Wiki y al algoritmo de Euclides.
La k fija el trayecto total independientemente de los radios, sólo depende de la separación de las trayectorias. Del radio solo dependen las longitudes recta y curva.
Bueno, otra quincena ha quedado atrás y por el Calendario nos vamos ya hasta Diciembre. Gracias a todos.
El próximo jueves nuevo Desafío de Rubenman
Club Pitagóricos 
Los mafiosos disponen de cronómetros muy exactos, por lo que se puede comprobar.
De todas formas nadie se atreve a discutirles las decisiones…
Creo que al final hubieran dado más juego los deberes que el Desafío, pero se agradece igualmente la relaxing couple of weeks. A mí me hacía falta.
El anexo que nos proponía Dospew era bastante interesante. Algunos parece ser que conociáis al Sr. Euclides, su algoritmo se me apodera.
En cualquier caso un apartado francamente curioso.
Tu primera explicación, muy corta, me dejó atónito por su sencillez y claridad.
Son más bien deducciones pero a mí personalmente me ayudaron a entender el caso, muy interesante. A modo de ejemplo también se puede concluir que la fracción 832040/514229 es la que más pasos requiere para llegar a un resto 0, hablando de valores inferiores al millón, 28 si no cuento mal.
Yo he hecho algunas pruebas con racionales aleatorios de muchas cifras (he usado la misma cantidad de cifras en numerador y denominador), y el número MEDIO de pasos tiende a aproximadamente 1.94 veces el número de cifras.
Por ejemplo, para números aleatorios de 10000 dígitos, el número medio de pasos es de aproximadamente 19400. Con 10000 dígitos, 38800, etc.
Si tu fracción de ejemplo se comportara como la media debería tener unos 12 pasos, pero según mis cuentas tiene 27 (puede que no contemos igual).
No sé lo que quieres decir con valores inferiores al millón. El valor de tu fracción es aproximadamente 1,6180339887482036213437981910783… que coincide hasta el decimal número 11 con el valor de Phi.
Supongo que quieres decir numeradores inferiores al millón. No he hecho pruebas, pero yo diría que probar todas las fracciones impropias con numeradores entre 0 y 1000000 iba a costar mucho tiempo.
A juzgar por el curiosísimo hecho de que es una aproximación excelente a Phi, yo diría que tu fracción bien puede ser la que más pasos requiera de entre las que tienen numeradores inferiores a un millón, pero me pica la curiosidad.
¿Cómo la has encontrado?
Si encuentro suficiente rato puedo intentar una búsqueda exhaustiva por mi parte, pero así a bote pronto me la imagino muy larga, y me sorprende que la hayas encontrado con tus herramientas. Enhorabuena.
Perdón, por ahí arriba quería decir con 20000 dígitos, 38800 pasos.
Yo no vi la relación entre la k de los caracoles y la k del minidesafío de los números racionales. Lo tomé como un problema distinto e independiente. Lo que le envié a Dospew acerca de los k racionales quedó incompleto. No sabía si lo colgaría. En definitiva, de lo que se trata es de que si partimos de dos números N(1), N(2), con N(1)>N(2), y calculamos el resto de los elementos de la secuencia por la fórmula N(i)=N(i-2) mod N(i-1), llegamos a un N(j)=0, y entonces N(j-1) es el m.c.d. de N(1) y N(2). Por ejemplo, partiendo de 69 y 15, la secuencia sería 69, 15, 9, 3, 0 por lo que 3 es el m.c.d. de 69 y 15.
En la página en ingles de la wikipedia (http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm), hay un ejemplo visual muy gráfico: se trata de cubrir un rectángulo con cuadrados lo más grandes posibles.
Super, te contesto por aquí, y comprenderás el método y la curiosidad de phi.
Me limito a buscar desde el final, la que podríamos decir «peor» secuencia o más larga, que es la que se forma si el último resto invertido es 2/1 y que el anterior sea 3/2, y el anterior 5/3, 8/3 y así sucesivamente, de manera que vamos viendo la secuencia
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. etc. Es decir cada término proviene de la suma de sus dos antecesores.
De este modo tomando dos números cualesquiera consecutivos de esta sucesión, se debiera garantizar que son, hasta esos números, los que mayor número de secuencias generan. No tiene otro misterio. De ahí que el 89/55 sea el más largo para dígitos de 2 cifras. Esto sí que se puede comprobar con tu programilla. o el 987/610 para tres cifras, etc.
Al menos así me lo parece.
Quise decir 8/5 en vez de 8/3, creo que se entiende.
Muy ingenioso, sí señor. Fibonacci agazapado por ahí. Enhorabuena una vez más.
Juego con ventaja. Me picó la curiosidad que nos proponía Dospew como deberes añadidos y le dediqué algo de tiempo, sin saber que eso ya había sido tratado, de ahí que sacase algunas conclusiones.
Cuando se las envié a Dospew y me comentó que tanto tú como Sebas le habiáis indicado lo de Euclides, casi me da la risa, porque me fui a verlo y no entendía nada, en cambio sí que podía razonar a mi manera lo que planteaba el desafiante.
De nuevo «chapeau»