Desafío 220

El panel solar (Rubenman)

Una empresa de alta tecnología fabrica paneles solares. Por una cuestión ya estudiada, de optimización en transporte, montaje y diseño; esas placas tienen forma de cuadriláteros con ángulos rectos (cuadrados o rectángulos) de 100 unidades de superficie.

Cada panel se subdivide en 10 celdas de 10 unidades de superficie cada una, las células y sensores se sobrecargan a partir de esa área y si es inferior se pierde eficacia.

El corte del panel, así como el correspondiente a esas particiones, se lleva a cabo con una sofisticada máquina de precisión de rayos láser.  El proceso requiere un tiempo considerable, que es directamente proporcional a la longitud de los cortes (perímetro de la placa + longitud de las líneas que la subdividen).

El actual equipo de ingenieros diseñó este modelo de panel que vemos a continuación, así como su fragmentación. La dirección no está muy convencida de que ese formato sea el más económico, considerando el tiempo total de corte. De ahí que hayan convocado un concurso de ideas para buscar el mínimo posible.

Relleno

Traducción al chino:

Identificar un cuadrilátero, de ángulos rectos, de 100 unidades de superficie; que ha de ser dividido en 10 trozos de 10 unidades de superficie cada uno; teniendo en cuenta que la suma del perímetro exterior del cuadrilátero, más la de las líneas interiores divisorias, ha de ser mínima.

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Soluciones Desfío 219

Sebas dice:

Con el presente Desafío se ha intentado aparcar la “maquina”, pero parece que nos hemos excedido en el intento de aparcar otros instrumentos como, lápiz, regla y compás.

La nueva herramienta, plegado del papel con las manos, ha servido para aparentemente confundir a algunos, lo siento.

Las soluciones aportadas, salvo una, tienen de denominador común la bisectriz, forma de suprimir el compás. Algunos me confesaron que a esta bisectriz llegaron de forma casual, sea como fuera es solución.

Relleno copia

Si este “origami” no ha sido un entretenimiento ameno, al menos me conforta el que haya servido para “hacer tiempo”.

Gracias

Soluciones

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D219_Rubenman

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Desafío 219

Practicando Origami (Sebas)

Mediante una serie trabajos prácticos, paso a paso, intentaremos  convertirnos en expertos en el arte del Origami.

Material disponible, hojas de papel con un cuadrado dibujado en ellas.

Herramientas disponibles, las expertas manos de cada uno para doblar la hoja y que quede marcada la recta del pliegue, los pliegues se considerarán rectas visibles en ambas caras de la hoja de papel. Para el doblado de la hoja se puede considerar como referencias, los lados, los vértices del cuadrado, pliegues anteriores, intersecciones de pliegues  o intersecciones de pliegues y lados.

Primera práctica: Doblar la hoja de modo que las marcas del plegado marquen un triángulo circunscrito al cuadrado.

Así me ha quedado a mí con 3 pliegues

Relleno1

Segunda práctica: Superada la anterior, repetir el ejercicio para conseguir que el triángulo marcado, circunscrito al cuadrado, sea el de área mínima posible.

Recordad que las herramientas permitidas son las manos, el lápiz para cálculos no es aconsejable, pero… con los practicantes noveles no seremos muy exigentes.

Tercera práctica: Superada la segunda, triángulo de menor área circunscrito al cuadrado, tratar de conseguir el que las áreas de los triángulos menores, partes del triángulo exteriores al cuadrado, estén en progresión geométrica.

Recordad las limitaciones del lápiz.

Cuarta y última práctica: Dado que el número de hojas con el cuadrado dibujado no están limitadas, podéis repetir todas veces que consideréis oportuno para conseguir el triángulo de área mínima circunscrito al cuadrado y que los triángulos parciales estén en progresión geométrica, con el mínimo número de plegados.

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Soluciones Desafío 218

Superpanzeta dice:

Empezaré diciendo que no merece la pena que abráis mi solución. En cuanto a lo que se pedía en el enunciado, todas son iguales. La mía no aporta nada, así que la he reducido al máximo. La he mandado solo para que no se diga que no he participado.

La idea de este Desafío surgió al ver en un libro un algoritmo muy simple que calculaba por pasos un logaritmo decimal y lo expresaba en base 2.

Tal y como estaba el algoritmo no me pareció demasiado útil, así que lo adapté para que la respuesta estuviera también en base 10.

Con una calculadora científica comprobé que el algoritmo era muy preciso y no excesivamente lento. Pero claro, con una calculadora científica es aún más rápido y exacto pulsar la tecla log, así que usar el algoritmo no tiene sentido.

Entonces me pregunté: ¿Y con una calculadora básica? ¿Una tan básica que ni siquiera nos ayudara con las potencias?

Obviamente, todo se puede reducir a multiplicaciones y divisiones sucesivas, así que el algoritmo era claramente factible, aunque muy lento debido a que habría que reintroducir una y otra vez los factores. Esto se podría acelerar usando la memoria, pero recordé que algunas de las calculadoras que he tenido (y que ya no tengo) asumían que en ausencia del segundo operando se usaba de nuevo el primero en todas las operaciones al pulsar la tecla igual. Esto permitía por ejemplo calcular el cuadrado de 604 pulsando simplemente 604*=. O el inverso de 17 pulsando 17/==. Podríamos entonces calcular el logaritmo decimal sin disponer de tecla log, ni potencias, ni memoria. Y sobre todo, nos evitaría tener que reintroducir los operandos. Esto haría que el algoritmo fuera práctico para calcular logaritmos decimales.

Desgraciadamente, no sé qué fue de aquellas calculadoras que tuve. Creo que esta característica del segundo operando era bastante común, pero la que tengo ahora no es apropiada, así que busqué una válida.

En el trabajo encontré una antigua muy básica de sobremesa con memoria y raíz cuadrada (teclas que no pensaba utilizar) que me servía perfectamente. Efectivamente, el algoritmo es práctico (no se hace largo), y sorprendentemente preciso.

Lo malo es que no todos tenemos las mismas calculadoras “especiales”, así que tuve que buscar una “online” que me sirviera. Pronto encontré una, que es la del link del enunciado. En otras circunstancias (con más tiempo), habría preparado yo mismo una página con esa misma calculadora sin la publicidad (la calculadora se puede extraer de la propia página), pero no me daba tiempo.

Y eso es básicamente todo. Para que pareciera más complicado, decidí añadir lo de “expresado en base B”, porque sugiere un trabajo de conversión extra entre bases al final. Algo que, curiosamente, en realidad es una reducción del trabajo.

Hay un punto débil en todo esto y es que el enunciado dice también “usando solo la calculadora” y esa era mi intención, que Roberto no tuviese que hacer operaciones mentales.

Esto no es del todo cierto porque la parte entera del logaritmo que obtenemos contando las primeras divisiones por B está en base 10. Esto obliga a Roberto a pasar la parte entera de base 10 a base B “de cabeza”. No obstante, es algo tan sumamente simple que supuse que hasta un tonto podría hacerlo si el número original no era muy grande. Así que añadí al enunciado lo de “no muy grande”, y puse un ejemplo pequeño cualquiera con base 6.

Tan pequeño, que la conversión mental de base 10 a base 6 no es necesaria.

Es muy curioso que tres de los Desafiados (¡la mitad!) hayáis pasado inicialmente por alto lo de “expresado en base B”, y hayáis enviado el algoritmo correcto que expresa el resultado en base 10. Esto me ha permitido algunas risas, pero habéis sido rápidos y todos habéis encontrado y corregido el fallo a tiempo sin que os dijese nada.

Lo de la cuenta de las pulsaciones surgió después de empezado el Desafío. Yo me había quedado con el algoritmo general (no optimizado para ninguna base) y no había considerado contar las teclas, pero pensé que podría servir de pista (o para despistar) y de acicate para encontrar el sistema (siempre que os dieseis cuenta de que la calculadora era un poco especial).

Esto acabó en un intento tardío y mal llevado de promover una competición que nunca llegó a arrancar. Tras recibir un par de correos con optimizaciones ajustadas a la base 6 basadas en la memorización por parte del mago Roberto de potencias de 6 o de otros números u operaciones mentales para reducir el número de pulsaciones, decidí que esas cosas eran demasiado complicadas para Roberto. Yo prefería la elegancia del sistema original (que funciona por si solo sin necesidad de que Roberto recuerde nada más que la base B ni calcule nada mentalmente).

Desgraciadamente, nada de esto formaba parte del enunciado y, como no dejaba clara mi intención, eso había provocado las ideas de optimización “complejas” que habíais enviado. Así que tuve que improvisar dos categorías de optimización: una libre, para que incluyeseis lo que quisieseis y una estricta (con un Roberto “tonto” que solo sabe seguir instrucciones y comparar con 6) que se adaptaba más a mi idea (y a mis propias capacidades como posible mago de feria), y que era la que yo quería seguir.

El único de vosotros que ha corrido de verdad por esta improvisada “pista de atletismo para tontos” ha sido Rubenman. Unos pocos hemos intentado seguirlo (me incluyo), pero Rubenman nos ha sacado varias vueltas de ventaja. Jajaja, qué mal suena esto… ;-D. Atentos a su ingenioso atajo “/6*”. Requiere de Roberto cierta memorización abstracta, pero nada especial.

Es una lástima que el Desafiante (o sea, yo) no haya estado a la altura para al menos ver el potencial que escondía el juego con la calculadora.

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Al final no ha habido competición real en ninguna categoría, pero las sensaciones del Desafío han sido buenas y hemos obtenido un completo. El Desafío entero era una tontería improvisada, pero parece que en general os ha gustado (a Rubenman le ha gustado incluso la optimización) y puedo ceder contento el relevo al próximo Desafiante, que seguro que lo hará mejor.

El próximo jueves nuevo Desafío de Sebas

Soluciones:

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D218_Sebas

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Desafío 218

La calculadora (Superpanzeta)

Se cumplen ahora 2 años de la triste desaparición de Roberto Pógrafo, el célebre “abuelo” del pueblo de Dospew que amenizaba las fiestas con sus trucos matemáticos (ver Desafío 215). Todavía se recuerda bien su último truco, el que acabó provocando su desaparición.
Roberto pedía a su audiencia un entero B mayor que 1 y menor que 11, y otro número real R no muy grande con bastantes decimales (que también podían ser cero). Escribían el número en una pizarra a la vista de todos.
Acto seguido, Roberto se daba la vuelta, y, oculto por su capa y su sombrero de ala ancha, empezaba a hacer pequeños movimientos. Luego recitaba un dígito en voz alta (seguido a veces de la palabra “coma”) y seguía con sus extraños movimientos. Decía otra cifra (seguida a veces por “coma”) y seguía haciendo algo bajo la capa, y así hasta que, juntando todas las cifras y la coma que había ido dictando se obtenía un número final que era el logaritmo en base B de R, expresado en base B con bastantes decimales.
Este truco le salió bien un par de veces hasta que uno de los espectadores, sospechando que Roberto hacía algo raro bajo la capa, se la arrancó de un tirón mientras Roberto efectuaba el truco.
La sorpresa de la multitud fue grande cuando vieron que Roberto tenía una calculadora entre las manos.

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Nunca se supo muy bien cómo sucedió, pero unos segundos después, Roberto se alejaba alegremente río abajo recitando algo que no ha trascendido, pero que probablemente eran versos de Espronceda.
Uno de los espectadores, aquel que le había quitado la capa, iba a arrojar también la calculadora al río cuando se dio cuenta de un detalle y todos fueron a mirar. La calculadora no tenía logaritmos.
¿Cómo lo haces? le gritaron a Roberto, ya en la lejanía. Seguramente, Roberto no pudo oirlos, ya que, en vez de explicarles el truco empezó a hacer unos extraños y simpáticos gestos con el dedo corazón que aquella multitud no supo interpretar. Finalmente, Roberto desapareció tras un recodo del río y ya nunca volvieron a verlo.
Se dice que la calculadora de Roberto era exactamente igual que esta: https://www.kalkureka.es/calculadora-basica/
Suponed que la multitud ha decidido, por ejemplo, que B=6, y que R=312.4508712126

¿Cómo haríais vosotros el truco usando solamente esa calculadora básica?

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Soluciones Desafío 217

Rubenman dice:

El desafío está basado en el juego Lights Out, un rompecabezas que ha sido objeto de muchos análisis de tipo matemático.

Realmente no había visto la cuestión planteada, aunque no dudo que también haya literatura al respecto. Me lo propuse y encontré la solución que mayoritariamente habéis aportado, creo que es la más sencilla y práctica, a la hora de formular una demostración; en el fondo encierra una estrategia.

En esa solución, nos basta con resolver tres casos preliminares por simetrías; aunque hay quien, con su originalidad, la reducía a un solo análisis.

Hay alguna estrategia bastante popularizada para desarrollar el juego que tiene bastante interés desde un punto de vista teórico-práctico.

Relleno

No voy a negar que, con la intención de amenizar el desafío, os comenté que alguna estrategia es tan simple que no requiere ningún análisis y que un niño de corta edad podría ponerla en práctica. En ese sentido, algún participante me ha comentado su propio método.

Vamos a ver que es una simple anécdota. Todo empezó con una pregunta que se hace uno, un tanto intuitiva, ¿y si se hiciese esto…, qué pasaría?. Como vais a comprobar, es cierto que el método es muy simple, pero poco interesante. En cuanto a su demostración, poco que comentar.

Soluciones

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Desafío 217

El problema de los 9 semáforos (Rubenman)

En un casillero de 3*3 hay 9 semáforos, uno en cada celda, que pueden estar en color verde o rojo; cada uno de ellos tiene un interruptor. Un técnico manipula los cables y conmuta las luces de modo que, al pulsar el botón de una celda, cambia el color de esa y de aquellas casillas que compartan lado, tanto en horizontal como en vertical. En el ejemplo que viene a continuación comprobamos que al pulsar sobre la tecla marcada con una “X” modificamos también las dos celdas contiguas en ambos sentidos referidos; si hubiese sido la central, se habrían alterado un total de cinco celdas.

Relleno

Nos gustaría saber si, cualquiera que fuese la distribución inicial, es posible conseguir que todas las luces queden con el mismo color. El desafío consiste en demostrar si es o no factible siempre ese objetivo, en caso negativo deberemos identificar qué distribuciones son imposibles.

Soluciones hasta el lunes 12 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com