Desafío 218

La calculadora (Superpanzeta)

Se cumplen ahora 2 años de la triste desaparición de Roberto Pógrafo, el célebre “abuelo” del pueblo de Dospew que amenizaba las fiestas con sus trucos matemáticos (ver Desafío 215). Todavía se recuerda bien su último truco, el que acabó provocando su desaparición.
Roberto pedía a su audiencia un entero B mayor que 1 y menor que 11, y otro número real R no muy grande con bastantes decimales (que también podían ser cero). Escribían el número en una pizarra a la vista de todos.
Acto seguido, Roberto se daba la vuelta, y, oculto por su capa y su sombrero de ala ancha, empezaba a hacer pequeños movimientos. Luego recitaba un dígito en voz alta (seguido a veces de la palabra “coma”) y seguía con sus extraños movimientos. Decía otra cifra (seguida a veces por “coma”) y seguía haciendo algo bajo la capa, y así hasta que, juntando todas las cifras y la coma que había ido dictando se obtenía un número final que era el logaritmo en base B de R, expresado en base B con bastantes decimales.
Este truco le salió bien un par de veces hasta que uno de los espectadores, sospechando que Roberto hacía algo raro bajo la capa, se la arrancó de un tirón mientras Roberto efectuaba el truco.
La sorpresa de la multitud fue grande cuando vieron que Roberto tenía una calculadora entre las manos.

relleno
Nunca se supo muy bien cómo sucedió, pero unos segundos después, Roberto se alejaba alegremente río abajo recitando algo que no ha trascendido, pero que probablemente eran versos de Espronceda.
Uno de los espectadores, aquel que le había quitado la capa, iba a arrojar también la calculadora al río cuando se dio cuenta de un detalle y todos fueron a mirar. La calculadora no tenía logaritmos.
¿Cómo lo haces? le gritaron a Roberto, ya en la lejanía. Seguramente, Roberto no pudo oirlos, ya que, en vez de explicarles el truco empezó a hacer unos extraños y simpáticos gestos con el dedo corazón que aquella multitud no supo interpretar. Finalmente, Roberto desapareció tras un recodo del río y ya nunca volvieron a verlo.
Se dice que la calculadora de Roberto era exactamente igual que esta: https://www.kalkureka.es/calculadora-basica/
Suponed que la multitud ha decidido, por ejemplo, que B=6, y que R=312.4508712126

¿Cómo haríais vosotros el truco usando solamente esa calculadora básica?

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Soluciones Desafío 217

Rubenman dice:

El desafío está basado en el juego Lights Out, un rompecabezas que ha sido objeto de muchos análisis de tipo matemático.

Realmente no había visto la cuestión planteada, aunque no dudo que también haya literatura al respecto. Me lo propuse y encontré la solución que mayoritariamente habéis aportado, creo que es la más sencilla y práctica, a la hora de formular una demostración; en el fondo encierra una estrategia.

En esa solución, nos basta con resolver tres casos preliminares por simetrías; aunque hay quien, con su originalidad, la reducía a un solo análisis.

Hay alguna estrategia bastante popularizada para desarrollar el juego que tiene bastante interés desde un punto de vista teórico-práctico.

Relleno

No voy a negar que, con la intención de amenizar el desafío, os comenté que alguna estrategia es tan simple que no requiere ningún análisis y que un niño de corta edad podría ponerla en práctica. En ese sentido, algún participante me ha comentado su propio método.

Vamos a ver que es una simple anécdota. Todo empezó con una pregunta que se hace uno, un tanto intuitiva, ¿y si se hiciese esto…, qué pasaría?. Como vais a comprobar, es cierto que el método es muy simple, pero poco interesante. En cuanto a su demostración, poco que comentar.

Soluciones

D_217_Dospew

D_217_Mmonchi

D_217_Rubenman

D_217_SPZ

D_217_Suschus

D_217_Tarzan

Desafío 217

El problema de los 9 semáforos (Rubenman)

En un casillero de 3*3 hay 9 semáforos, uno en cada celda, que pueden estar en color verde o rojo; cada uno de ellos tiene un interruptor. Un técnico manipula los cables y conmuta las luces de modo que, al pulsar el botón de una celda, cambia el color de esa y de aquellas casillas que compartan lado, tanto en horizontal como en vertical. En el ejemplo que viene a continuación comprobamos que al pulsar sobre la tecla marcada con una “X” modificamos también las dos celdas contiguas en ambos sentidos referidos; si hubiese sido la central, se habrían alterado un total de cinco celdas.

Relleno

Nos gustaría saber si, cualquiera que fuese la distribución inicial, es posible conseguir que todas las luces queden con el mismo color. El desafío consiste en demostrar si es o no factible siempre ese objetivo, en caso negativo deberemos identificar qué distribuciones son imposibles.

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Soluciones Desafío 216

Sebas dice:

Ciertos Desafíos han estado motivados por discrepancias con algunas afirmaciones que circulan por “la red”. De la misma forma y por falta de “material” nació este.

En cierto Foro especializado de Dibujo Técnico se pedía ayuda para la división de un triángulo mediante una recta por un punto exterior, la respuesta, correcta, estaba basada en las propiedades de la hipérbola, respuesta que consideraba algo pesada por lo que aporté una solución alternativa que supongo más simple, no hubo ningún comentario. Posteriormente en el mismo hilo del foro se pedía por la división del cuadrilátero, la respuesta fue, triangular y luego proceder a la división del triángulo, pero esto no es posible en muchos casos. La propuesta que yo hacia se adapta a cualquier cuadrilátero.

Volviendo al Desafío, la verdad es que ha sido poco agraciado, a pesar del esfuerzo de algunos Desafiados en calificarlo de “bonito y entretenido” se ha de aceptar la honradez de un Desafiado madrugador que lo calificó de “feo”. Recuerdo el clásico de “la vaca pastando en una era circular”, bastantes lo consideran “feo” y aún a día de hoy hace correr tinta, parece aceptable aquello de “… todo es según el color…”

Se agradecen los esfuerzos de Superpanzeta en los Comentarios, que en un intento de mitigar el entuerto hizo algunas buenas propuestas para que aceptáramos que para feo, feo… , recordándonos el “Cuentan de un sabio que un día…”. Sus propuestas las considero muy acertadas, dando pie a que algún “sabio arrojara hierbas” que otro consideraría un manjar.

Es posible que así fuera en el caso de sustituir las rectas por arcos de parábola para dividir la tan poco agraciada tarta.

Relleno

Un ejemplo de división dicha tarta en dos partes equivalentes con una parábola, geométricamente con regla y compás. El trazado de la curva está limitado por dichos instrumentos, pero sus puntos están posicionados exactamente.

Soluciones

D216-Dospew

D216-Rubenman

D216-Sebas

D216-Superpanzeta

D216-Tarzán

Desafío 216

La tarta (Sebas)

Saladino (el pastelero) entrega la tarta que cuatro Pitagóricos le han encargado. Al verla, los cuatro al unísono, miran a Saladino con cara de pocos amigos, la tarta que le habían encargado debía ser cuadrada, y esta es cuadrangular. Eso sí, es de agradecer el detalle de Saladino al servirla sobre papel milimetrado, de esta forma fácilmente se deducen las dimensiones, por la posición de sus vértices, A(0,0), B(35,140), C(114,168), D(240,0). Para poder efectuar un reparto equitativo, se había acordado cortarla es cuatro partes iguales.

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Saladino al observar su cara se adelanta y dice:

Si, ya lo sé, deseabais la tarta cuadrada y es cuadrangular. He considerado que para vosotros repartirla en 4 partes iguales era una ridiculez, si no una ofensa a vuestras mentes.

Con cortes rectos existen infinidad de formas de repartir esta tarta en 4 partes equivalentes (igual área). Podéis proponer las que se os ocurran, yo sugiero:

1.- Con 4 cortes rectos, partiendo de los puntos medios de los lados y convergiendo en un punto común conseguir 4 cuadriláteros equivalentes.

Si consideráis que 4 son muchos cortes, con 3 existen también múltiples formas de conseguir 4 polígonos equivalentes, por ejemplo:

2.- Con 3 cortes concurrentes en un vértice obtener  4 polígonos equivalentes.

3.- Conseguirlo con los 3 cortes pasando por vértices diferentes.

4.- Obtener 4 triángulos equivalentes con los 3 cortes.

5.- Si preferís cortes paralelos o perpendiculares entre sí, también es posible las 4 partes con 3 cortes.

Dicho esto, los Pitagóricos quedan pensativos y cuando Saladino se retira añade:

Se me olvidada, pero supongo que dais por supuesto que…

6.- Con 2 cortes también hay múltiples formas de conseguir las 4 partes equivalentes.

7.- … y los dos cortes pueden ser perpendiculares!!??

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Soluciones Desafío 215

Dospew dice:

Bueno caeréis todos en que si N = p·q , N es p veces q o q veces p y dependiendo de la paridad de uno y otro factor todo gira en torno a la suma aritmética cuidando de que los sumandos sean todos enteros positivos. El abuelo empleaba la suma aritmética para primer y último término. Algunas soluciones con el producto me hicieron ver que también podía tratarse atendiendo al término central y lo añadí.1

Como veis era “un truco”, que había que “ver” y con el que me topé casualmente.

Gracias a todos y hasta otra ocasión.

El próximo jueves nuevo Desafío de Sebas

Soluciones

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Desafío 215

Magia potagia (Dospew)

Había un “abuelo” en el pueblo que tenía “buena cabeza” como se decía antes y hacía numerosas demostraciones de su capacidad numérica.

Te pedía uno, dos, tres o n cualesquiera números (*) y te expresaba su producto como suma de números consecutivos de varias formas. Sólo usaba la calculadora si los números eran muy grandes. Lo conseguía de numerosas formas distintas y “de cabeza”. Otras te decía ya de antemano que era imposible hacerlo o que solo había una suma posible. Me intrigaba.

magia

Entonces yo os propongo destriparlo:

Cuando lo sepáis no os resultará difícil hallar la descomposición de estos dos casos: 4569180 y 2097152, emulando al “abuelo”, no con todas las maneras posibles si no sólo con las extremas; la que tenga mayor número de sumandos y la que menos.

(*)  Naturales, Enteros positivos.

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