Soluciones Desafío 181

Superpanzeta dice:

Un desastre sin paliativos.

El Desafío se puede dividir en 4 partes, y en 3 de ellas metí la pata. Todo un récord.

Las dos primeras meteduras de pata son ya lamentables, pero la última es un fallo muy gordo que me duele más. Debería haberme dado cuenta de que la última pregunta tenía respuesta fija independientemente de las otras tres partes. La idea era juntar varios minidesafíos que no hubieran servido por sí solos como Desafío, pero no me ha salido demasiado bien.

Dejando aparte la tontería de la matrícula (que es cosa mía y sólo mía), ninguna de las otras tres partes del Desafío es original. Me las encontré por ahí.

Las dos primeras partes venían sin solución, así que tuve que darles yo una (notaréis que para el boleto me complico la vida innecesariamente). Sin embargo, la última parte estaba ya resuelta de forma parcial para un número en particular, el 1248. Es la que he incluido en mi respuesta.

Yo dí esa solución por buena sin pensar más, y adapté el resto de los minidesafíos para que al final del proceso apareciese el 1248. Craso error.

En mi descargo, diré que, posiblemente, tanto el autor del problema que yo me encontré como el autor de la solución tampoco se dieron cuenta de la inutilidad del entero. Y lo que es peor, tampoco lo hizo quien planteó el problema por primera vez. Me explico.

Por lo visto, el problema ya se había publicado con anterioridad. Como poco, nos podemos retrotraer hasta la Competición Matemática Austríaco-Polaca de 1980 (muchas gracias a Tarzán por la información). Aquel problema es exactamente el mismo que yo me encontré, con una pequeña diferencia: en aquel caso preguntaban por el entero 1980, sin duda debido al año en que se publicó.

Bueno, pues rebuscando entre las recopilaciones publicadas de los problemas de aquellas competiciones, he encontrado la solución oficial al problema y ¿sabéis qué?, la solución que dan es específica para el 1980.

Ahora me pregunto si es que no se dieron cuenta de que el 1980 no servía para nada, y también me pregunto cómo es que el número en cuestión acabó convirtiéndose en el igualmente inútil 1248 que yo me encontré. Supongo que nunca lo sabremos.

cabra

Desgraciadamente, Tarzán era conocedor del problema y no ha querido participar para no aprovecharse de esa ventaja. Le sugerí que resolviera el resto, pero no pude convencerle.

El resto de los Pitagóricos no habéis tenido ningún escrúpulo en saltaros los tres primeros minidesafíos e ir directamente a resolver la última pregunta, y a resolverla bien.

Dospew no pasó de ahí, bloqueado por el calor y por mis tonterías, pero los demás me siguieron la corriente y tras resolver la parte final, pasaron por todas las pruebas. De ellos, tengo que comentar que no veréis la solución de Sebas porque no ha querido presentarla, aunque era completa y correcta en todos los sentidos.

En fin, el resultado ha sido desastroso por mi mala preparación, pero sigo pensando que la idea de unir varios minidesafíos sencillos no era mala.

Espero que al menos nos hayamos entretenido un rato, gracias a todos por aguantarme, y perdón por haberlo hecho tan mal.

El jueves nuevo Desafío de Sebas.

Soluciones

D181_Dospew

D181_Mmonchi

D181_Rubenman

D181_SPZ

Desafío 181

Salvando a la Cabra (Superpanzeta)

Unos extraterrestres malvados han secuestrado a mi Cabra y la han encerrado en una celda de su nave espacial cuya puerta se abre por medio de un pulsador.
Lo malo es que hay dos pulsadores iguales, uno rotulado como “SI” y otro como “NO”.
Si se pulsa el botón correcto, la puerta se abre, y la prisionera es libre de marcharse.
Si se pulsa el botón incorrecto, entra Justin Bieber y le da un concierto a la Cabra.
El desafío consiste en ayudar a mi Cabra a escapar averiguando qué botón hay que pulsar.
En el suelo de la celda hay unas instrucciones, una pantalla táctil cuadrada dividida en 25 casillas (5 filas y 5 columnas) y un talonario muy gordo con 10 mil millones de boletos de lotería numerados de arriba a abajo desde el 9999999999 hasta el 0000000000.
Este es un resumen de las instrucciones:
En cada casilla de la pantalla táctil se puede ver un contador a 0. Cada vez que se toca una casilla, su contador se incrementa en 1, pero también lo harán los contadores de las casillas adyacentes (no en diagonal). El objetivo es pulsar una o más casillas hasta que las 25 muestren el mismo número mayor que 0, usando en el proceso la mínima cantidad de pulsaciones. Las pulsaciones que se den a las casillas del tablero deben ser simétricas respecto al centro.
Una vez igualado el tablero, hay que convertir el número que muestren las casillas a base 16.
El número así obtenido deberá tener 3 dígitos. En caso necesario, habrá que completarlo con uno o más ceros por la izquierda.
Ahora hay que tomar el primer dígito, interpretarlo como si fuera decimal, y arrancar del talonario de lotería todos los boletos que lo contengan. Y lo mismo para el segundo y tercer dígito.
Lo siguiente es encontrar el boleto que haya quedado en cierta posición del talonario (contando de arriba a abajo). Esta posición deberá ser igual a la de la matrícula de la nave espacial.
Como en la cabecera no se ve bien, aquí está la matrícula ampliada, que habrá que convertir en un número entero:matriculaPara poder interpretar el número de la matrícula, habrá que hacer antes un par de transformaciones sencillas. El resultado final será la posición del boleto de lotería que buscamos.
Luego de encontrado el boleto correspondiente, hay que dividir su número (no su posición) por 2, y hacerle la raíz cúbica a lo que salga. En caso de que estas operaciones no sean exactas, se tomará en cada caso el entero más cercano redondeando hacia abajo. El resultado será el número final.
El destino de la prisionera dependerá del número final obtenido y de la siguiente pregunta. La respuesta deberá ser “SI” o “NO”, y habrá que pulsar el botón correspondiente.
Pregunta final:
Considérense 3 tres progresiones aritméticas infinitas desconocidas.
Juntando los términos de las tres series, los números del 1 al 8 aparecen al menos una vez cada uno. ¿Contiene alguna de las series el número final?
¿Sí o no?
NOTA:
No os preocupéis, es un entretenimiento veraniego y sin sustancia. Obviamente, no vale adivinar, pero se permite utilizar el Teorema de Pitágoras.

Soluciones hasta el lunes 26 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 176

Superpanzeta dice:

Está claro que contar no es lo mío.

Como ya sabéis, el Desafío no era original. Lo encontré en un blog de EEUU, y me pareció interesante.

Había una solución oficial, pero no quise estudiarla hasta haberlo intentado por mí mismo, cosa que esperaba hacer durante el Desafío, al mismo tiempo que todos vosotros.

Enseguida estuvo claro que me iba a quedar atrás. El primer día recibí ya tres correos con la solución correcta. Aunque estos correos eran simples comentarios, tampoco quise estudiarlos hasta tener una solución propia, que no llegaba.

Finalmente, y gracias a un consejo de Rubenman, cambié mi forma de contar las exposiciones y conseguí construir una solución al caso general de 2 botes.

Intenté entonces pasar a 3 botes usando la misma filosofía, pero no ha habido manera. He obtenido 3 soluciones diferentes a la misma estrategia (cambiando solo la forma de contar) y, no sé por qué, ninguna de ellas es correcta. No voy a incluir esta fracasada parte en mi solución porque no tiene interés y es algo larga (más de 100 líneas desperdiciadas). En cualquier caso, si alguien la quiere, que la pida.

Considero, pues, que el Desafío no me ha salido bien. No sé si considerarlo fallado, pero desde luego no os he atendido bien (afortunadamente no lo habéis necesitado) porque no lo tenía preparado previamente ni quería aprovecharme de vuestras soluciones.

Mi solución no aporta nada interesante ni tampoco es rigurosa. Por otro lado, aunque era algo voluntario, yo quería generalizar a 3 botes, pero no lo he conseguido (y mucho menos a N botes).

Respecto al Desafío en sí, espero que al menos os haya entretenido. Por sus comentarios, a Rubenman le ha resultado trivial (generalizaciones incluidas), y creo que a Mmonchi y a Sebas tampoco les ha supuesto un gran quebradero de cabeza. Sebas me dió la solución correcta ya el primer día, y también la solución al caso de 31 pastillas que le sugerí. Al final no ha mandado ninguna solución en limpio, pero es otro acertante más. A Dospew y Tarzán les ha costado aparentemente algo más de esfuerzo, pero seguro que menos que a mí.

Si tengo que destacar algo, me quedo con la solución de Mmonchi. Impresionante.

Y poco más. Me gustaría decir que había elegido un Desafío a propósito con poca dificultad para poder disfrutar de los días libres de Semana Santa sin mucho trabajo, pero eso sería mentir.

Si ha resultado fácil (para vosotros), ha sido algo imprevisto por mi parte.

En fin, ahora que ha terminado, creo que puedo reafirmarme en mis palabras al inicio del Desafío:

relleno

esto no puede acabar así. El siguiente Desafío dejará mejor sabor de boca.

Gracias a todos por participar, y hasta el próximo.

Soluciones:

D176_Dospew

D176_Mmonchi

D176_Rubenman

D176_SPZ

D176_Tarzán

El próximo jueves nuevo Desafío de Sebas

Desafío 176

Pastillas (Superpanzeta)

Mi médico me recetó el mes pasado unas pastillas, y tengo que tomarlas durante 8 semanas, una pastilla al día.
Las pastillas vienen en unos frascos herméticos de 28 pastillas, así que compré dos frascos.
Estos frascos vienen acompañados de un mecanismo para hacer el vacío, ya que el aire perjudica la eficacia de las pastillas.
Durante las primeras 4 semanas tomé las pastillas del primer frasco, haciendo el vacío de nuevo tras tomar cada pastilla, como recomiendan las instrucciones.
Desgraciadamente, dado que las pastillas pierden eficacia al entrar en contacto con el aire, las primeras pastillas que tomé eran mejores que las últimas. En efecto, la primera pastilla tuvo 1 exposición al aire (aunque fuera corta) y la última 28, dando una media de (1+28)/2 = 14.5 exposiciones por pastilla.
Pero hoy que empieza la quinta semana, he pensado que puedo mejorar la eficacia media de las pastillas que me quedan por tomar porque ahora tengo un frasco vacío. Por ejemplo, puedo abrir el frasco nuevo, tomarme la pastilla de hoy, y pasar 14 al frasco vacío.
Si reservo para el final ese frasco de 14 y no hago más transferencias entre frascos, las primeras 14 pastillas que tome serán igual de eficaces que si no hubiera transferido nada, con una exposición media de (1+14)/2=7.5 veces.

Sin embargo, las últimas 14 pastillas acumularán 13 exposiciones menos cada una, con una media de (2+15)/2=8.5, lo que sin duda mejorará su eficacia. La exposición media total de estas últimas 28 pastillas será (14*7.5)+(14*8.5)/28 = 8 exposiciones por pastilla. Mucho mejor.

rellenoPero me da la sensación de que puedo hacerlo aún mejor, aumentando de alguna forma el número de transferencias. ¿Cuál sería el procedimiento óptimo?

Soluciones hasta el lunes  17 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 171

Superpanzeta dice:

Como ya sabéis, no es la primera vez que me autodesafío, y en esta ocasión ha sido más verdad que nunca. Me he sentido desafiado todo el tiempo, y no me ha disgustado.

El Desafío no tenía nada escondido y, aunque yo no lo sabía, es bastante asequible. Lo cual no impidió que más de uno se asustase al principio.

Solo uno de los cuatro participantes (el título ha estado a punto de ser profético) se ha quedado sin demostración, y no es porque no supiera encontrarla. Por lo visto se ha perdido por el camino de la solución manual.areas

Este camino manual no estaba previsto, pero al final los otros tres participantes lo hemos seguido exitosamente con diferentes grados de elegancia.

El culpable de todo eso ha sido cierto Burro que me animó a conseguirlo, y yo contagié ese ánimo al resto.

El Desafío es en realidad poco más que un ejercicio de libro o un examen, y por eso estuve a punto de descartarlo, pero la sorpresa al empezar a resolverlo era demasiado buena para dejarla pasar, y creo que hice bien en proponerlo.

Pienso que el Desafío os ha gustado igual que a mí, sobre todo la parte de descubrir la sorpresa (espero que me perdonéis el larguísimo enunciado repleto de tonterías).

En cuanto a la parte aburrida estilo examen (la demostración), resulta que también había un inesperado margen para disfrutar. Unos aprendiendo o recordando algunas cosas, y otros utilizando bonitos trucos y atajos. Es lo mejor que podía haber pasado, así que estoy muy contento.

Y nada más. Estoy seguro de que recordaré este Desafío con cariño, y será gracias a vosotros. ¡Hasta la próxima!

d171_dospew

d171_sebas

d171_spz

d171_tarzan

Desafío 171

Atraco entre tres (Superpanzeta)

Antonio, Bernardo y Carlos acaban de robar un banco y están discutiendo cómo repartir el botín, pero no están llegando a ningún acuerdo.

Carlos, el conductor que esperaba a los otros dos en la puerta del banco, opina que hay que repartir equitativamente (A=B=C), pero los otros creen que el conductor es el que ha corrido menos riesgos y por ello se merece menos.

Bernardo, el abuelo del grupo, opina que habría que repartir de acuerdo a la antigüedad en la banda, después de descontar la parte mínima del conductor (B>A>C).

Finalmente, Antonio opina que él debería llevarse una parte mayor porque el plan era suyo y también las armas empleadas (A>B>C).

Después de un rato sin llegar a ningún acuerdo, Carlos propone lo siguiente:

-Como somos tres, vamos a proponer los coeficientes de un polinomio de tercer grado. Por ejemplo y si os parece bien, por orden alfabético, así:

Ax^3+Bx^2+Cx. Antonio elegirá el coeficiente A, Bernardo el B, y yo el C.

Evitando los coeficientes complejos, podemos elegir entre positivos, negativos, racionales, enteros, o incluso irracionales, pero no hay que elegir coeficientes demasiado grandes porque luego tendremos que dibujar la curva.

Para completar el polinomio, podemos añadir un término libre que bien puede ser el resultado de tirar un dado, D:

Ax^3+Bx^2+Cx+D

Estaréis de acuerdo conmigo en que el polinomio resultante es impredecible. Bien, pues dibujaremos la curva correspondiente f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D, y luego saldremos a la calle a pedir al primero que pase que elija un punto cualquiera de la curva, que llamaremos P.

Por este también impredecible punto P, trazaremos la tangente a la curva, y la prolongaremos hasta que corte a la curva en otro punto nuevamente impredecible, Q.

Llamaremos area1 a la superficie cerrada comprendida entre la curva f(x) y la tangente entre los puntos P y Q.

Si el punto P elegido provocara un punto Q inconveniente para el dibujo práctico (Q demasiado lejano, area1 demasiado pequeña o demasiado grande), procederíamos a pedir otro punto P.

Por este último punto Q, repetiremos el procedimiento: trazaremos una nueva tangente a la curva y marcaremos la otra intersección con la curva como punto R.

Llamaremos area2 a la superficie cerrada comprendida entre la curva f(x) y esta última tangente entre los puntos Q y R.

Igualmente, si el punto original P causase inconvenientes prácticos al dibujo de esta última tangente, procederíamos a pedir otro punto P.

Finalmente, cuando hayamos conseguido un dibujo apropiado con las dos áreas definidas, procederemos a dividirlas entre sí: resultado = area2/area1.

Y aquí viene mi propuesta:

Si con sólo ver el polinomio inicial (antes de dibujar nada ni pedir el punto P), soy capaz de adivinar el resultado con 9 decimales correctos, nos repartiremos equitativamente el botín.

Si fallo, aunque sea en una milmillonésima, me conformaré con una sexta parte del botín.

Antonio y Bernardo se miran y hablan un rato en voz baja. Cinco minutos después, Antonio se dirige a Carlos:

-Has cavado tu propia tumba. No nos fiamos de ti ni de tus números, y, aunque no sabemos cómo, estamos seguros de que pretendes engañarnos. Desde este momento, quedas automáticamente expulsado de la banda sin derecho al reparto.

Pero nos hace gracia tu propuesta, listillo, así que vamos a devolvértela con algunos cambios:

1- Tú no vas a elegir ningún coeficiente; el tuyo saldrá también del dado.

2- El dado lo ponemos nosotros. (Carlos no lo sabe, pero el dado que planean utilizar está trucado y solo saca números impares)

3- Debes adivinar el número ANTES de ver el polinomio.

Si no aceptas esta propuesta modificada, ahí está la puerta. Te quedas sin nada.

Si aceptas y aciertas el número, a cambio de la dificultad añadida te permitiremos que te lo lleves todo. Pero si fallas, te pegamos un tiro. Sólo tienes una oportunidad, así que lo mejor será que reconozcas que te has pasado de listo y te vayas a tu casa.

Tú decides.

Antonio y Bernardo sonríen, seguros de que Carlos va a elegir la puerta.

¿Cómo sigue la historia, y por qué?

Por si necesitáis aclaración, os adjunto una gráfica de una curva arbitraria con las áreas coloreadas.

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Soluciones hasta el lunes 23 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 168

Superpanzeta dice:

Un Desafío un tanto raro por lo mal que estaba preparado, pero que ha dado bastante juego. Era más difícil de lo que parecía.

Supongo que está mal que yo lo diga (con lo mal que lo he hecho), pero yo creo que ha estado bien.

Como visteis ya ayer en el blog, y hoy podéis leer en mi solución, el Desafío no era original. En el foro del que lo saqué (ver mi solución) hay varios intentos de demostración de que no se puede bajar de 18 trozos que a mí no me convencen, aunque, naturalmente, tampoco me veo capacitado para demostrarlo por mi cuenta. Rubenman, sin embargo, es más optimista. Piensa que con un poco de suerte y combinando las estrategias de todos podríamos, o mejorar alguna solución, o demostrar que no se puede. Ojalá tenga razón. Sería un gran final.

El ranking final de la competición podría resumirse así, después de puntuar los primeros puestos con 3 puntos, los segundos con 2, los terceros con 1, los cuartos con 1/2 y los quintos puestos con 1/Pi:

Rubenman         10 pts.

Tarzán                  9.5 pts.

Sebas                   8 pts.

Spz                        3.5 pts.

Dospew               2 pts.

(Menos mal que no hay quintos puestos…)

Como veis, sólo hay dos grupos de calificaciones:

-Los sobresalientes (Rubenman, Tarzán y Sebas).

-Los suspendidos (Spz y Dospew).

Respecto a las soluciones recibidas, e independientemente de la clasificación, creo que el vencedor es también Rubenman, por la variedad y originalidad de sus propuestas ¡respuestas planas con cortes curvos! No sólo ha encontrado la mejor respuesta para la categoría 1. Además, Rubenman ha conseguido también el mínimo en cortes de la categoría 2 (6 cortes). Su solución final de 18 trozos es diferente a la mía que encontré en la web, pero su procedimiento de construcción es similar. Esta ha sido una solución inesperada, conseguida muy al final por Rubenman, que no quiso decirme nada para darme una sorpresa.

Como Rubenman, Tarzán también ha explorado los cortes centrados. De su solución final de 18 trozos, que coincide con una de las mías, poco puedo decir porque como véis, no nos ha explicado nada. Pero tiene gracia que se haya equivocado al contar los 17 cortes (a él le salen 19). Me he tomado la libertad de interpretar que había conseguido en realidad 17 cortes, aunque eso no le haya servido para mejorar su clasificación. Al enviar su solución me dijo que iba a estar fuera unos días, así que no creo que pueda comentarnos nada de momento.

relleno-entrada-solucion

Sebas estuvo empatado a 19 hasta el último momento con Rubenman, y se ha empeñado en utilizar ese particionado hasta las últimas consecuencias (tanto en categoría 1 como 2), y eso quizá le haya hecho perder algunos puntos. Sea como sea, sus 7 cortes sin recolocar son tan sencillos como brillantes.

De los suspendidos, mejor no hablamos. No se nos ha dado bien. Seguro que Dospew tiene una buena excusa, pero la mía es que se me olvidó sacrific.. quiero decir, incluir una cabra.

El próximo jueves nuevo Desafío de Rubenman

Soluciones