Soluciones Desafío 226

Bueno, pues ya se ha acabado y creo que en general os ha gustado. Espero que las soluciones os gusten todavía más.

Considero un éxito que solo uno de los Pitagóricos conociera el problema, y eso ha permitido que pudiera compartir con casi todos vosotros este problema tan bonito y su sorpresa asociada.

Por mi parte, debo reconocer que no he estado a la altura y no he sabido guiaros convenientemente hacia la solución geométrica sin cálculos que había elegido.

Ninguno de vosotros ha hecho caso alguno de mis pistas, y a pesar de ello (o gracias a ello), 3 de vosotros habéis llegado al final encontrando la fórmula general. Creo que la clave en todos los casos ha sido la búsqueda de Pi.

relleno

Rubenman fue el primero en llegar (a pesar de que la parte física era nueva para él), y encontró además una justificación geométrica algo diferente de las que yo encontré.

Luego vino Dospew, cuyo diagrama no he sido capaz de comprender, pero que tiene que ser correcto o la fórmula no lo sería. Es gracioso porque me ha confesado que se ha inspirado en aquel Desafío de Mmonchi en que otra cabra recorría una goma elástica. En aquel Desafío, Dospew adaptó el escenario a una circunferencia que la cabra completaba sumando ángulos. Bastante parecido a lo que hacemos Rubenman y yo en este.

Y el último en llegar y el que peor lo ha pasado ha sido Sebas, que no quería bajarse del Burro (nunca mejor dicho) y siguió por el camino de la física hasta el final, ignorando mis tonterías. Vio la luz por su cuenta a ultimísima hora y por eso su solución es demasiado corta y sin detalles, pero encuentra la fórmula correcta y la expresa de tres formas. No obstante, al comentarle a posteriori que mi pretensión era un camino geométrico, ha entendido inmediatamente el mensaje y ha descrito una solución prácticamente idéntica a la que yo os presento.

Los 3 han encontrado la misma fórmula general correcta (expresada de una forma u otra), aunque solo Rubenman encontró el imprescindible redondeo correcto, y además, el motivo del fallo del redondeo normal en ciertos casos. Esto tiene mucho mérito, no porque yo mismo no me diera cuenta de que había casos en que fallaba (que no me di cuenta), sino porque el mismísimo creador de los vídeos que os propongo ver (y que me sirvieron a mí para conocer el problema) tampoco se dio cuenta, y se lo tuvieron que advertir en un comentario. Os animo a ver estos vídeos porque son una obra de arte. Tenéis los links en mi solución.

Dospew y Sebas no han encontrado el redondeo correcto, creo que por falta de tiempo, pero es un fallo  pequeño sin demasiada importancia.

En cuanto a los demás, Tarzán y Suschus, razonamientos impecables y resultados correctos que, aunque no han conseguido generalizar, son más que suficientes para el cumplimiento de lo que se pedía en el enunciado. Todos estáis aprobados sin problemas.

Como curiosidad, todos los participantes habéis usado una hoja de cálculo, menos yo. Algún día aprenderé a usarla. Pero no será hoy.

Al final, un muy buen resultado global para un Desafío sin preparación y no muy bien dirigido. El alto número de los correos recibidos en la cuenta de Soluciones es buena muestra de que ha ido bien.

Soluciones

D226_Dospew

D226_Rubenman

D226_Sebas

D226_SPZ

D226_suschus

D226_Tarzán

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Desafío 226

Cabramburras (Superpanzeta).

Como no hubo un vencedor claro en el Desafío 225 con billares de 2 dimensiones en adelante, la Cabra decide dirigirse al billar 1D.
El Burro sonríe. La Cabra se dirige a una de las dos esquinas de la temible mesa de billar 1D de longitud infinita (esta mesa es rectangular y tiene la anchura justa para que pase una bola, de forma que es imposible fallar el tiro).

La cabra coloca la bola roja a cierta distancia del extremo, y la bola blanca a cierta distancia más lejos aún del extremo. La Cabra mira al Burro y dice en voz alta: ¡Treees!

Luego, golpea con suavidad y sin efecto la bola blanca con el cuerno izquierdo en dirección hacia la bola roja a velocidad v…

¡Clac!

Bajo la mirada perpleja del Burro, la Cabra marca una raya en su pizarra con el cuerno derecho (lleva una tiza azul en el cuerno izquierdo y una blanca en el derecho).

Debido a que las masas de las dos bolas son iguales, la bola blanca transfiere todo su movimiento a la roja, de forma que se queda quieta. La bola roja se dirige ahora al borde final de la mesa a velocidad v y lo golpea.

¡Clac! (Las bandas de este billar son de mármol de masa infinita).

La Cabra marca otra raya en la pizarra. El Burro menea las orejas mientras piensa: esta Cabra está como una cabra…

La bola roja ha rebotado de forma perfecta sin perder velocidad (en este billar no hay rozamiento y los choques son perfectamente elásticos) en el borde de la mesa y ahora se dirige de nuevo hacia la bola blanca.

¡Clac!

La Cabra marca una nueva raya en la pizarra. La bola roja ha golpeado a la bola blanca, transfiriéndole todo su movimiento. La bola blanca se aleja hacia el infinito a velocidad v mientras la bola roja se queda quieta.

La Cabra mira satisfecha la bola roja y dice:

Muy bieeeeeeen. Ninguna de las boooolas se dirige al extremo cercano de la mesa, y la bola roja tiene ahora menor velocidad que la blaaaaanca. Esto significa que ya no hay queeee contar más rebotes. Mira su pizarra y dice: Tenía razón: ¡Treees!

Como solo ha quedado una bola a la vista (roja), la Cabra saca del bolsillo una bola del mismo tamaño que las otras, pero negra. Con gran esfuerzo  la coloca en la mesa en el mismo punto en que puso la bola blanca al principio.

Relleno

¿Qué pasa? -le dice el Burro- ¿te has quedado sin fuerzas?

Noooo -contesta la Cabra-. Es que esta bola negra peeeeesa mucho. Tiene un pequeñísimo agujero negro en su interioooor, y su masa es de 10 mil veces la masa de la bola blanca. Teeee toca a ti.

¿Qué tengo que hacer? -pregunta el Burro-

Muy sencillo. Debes lanzar la bola negra contra la roja, peeero antes deber adivinar cuántos rebotes vamos a escuchar.

Y eso es lo que debéis averiguar también vosotros.

Por clarificar, se trata de lanzar en condiciones ideales (choques perfectamente elásticos, no hay rozamiento alguno) una masa móvil grande a velocidad v contra una masa estática m pequeña que tiene detrás a cierta distancia una pared de masa infinita. En cada choque se debe conservar la energía total, y también la cantidad de movimiento. Se trata de determinar cuántos rebotes (clacs) habrá en total, incluyendo los de la bola roja contra la pared.

NOTA: si fuéramos estrictos, no deberíamos oír los choques, ya que el sonido conlleva pérdida de energía (probablemente tampoco deberíamos ver nada, ya que los fotones interferirían), pero no lo tendremos en cuenta.

Soluciones hasta el lunes 18 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 218

Superpanzeta dice:

Empezaré diciendo que no merece la pena que abráis mi solución. En cuanto a lo que se pedía en el enunciado, todas son iguales. La mía no aporta nada, así que la he reducido al máximo. La he mandado solo para que no se diga que no he participado.

La idea de este Desafío surgió al ver en un libro un algoritmo muy simple que calculaba por pasos un logaritmo decimal y lo expresaba en base 2.

Tal y como estaba el algoritmo no me pareció demasiado útil, así que lo adapté para que la respuesta estuviera también en base 10.

Con una calculadora científica comprobé que el algoritmo era muy preciso y no excesivamente lento. Pero claro, con una calculadora científica es aún más rápido y exacto pulsar la tecla log, así que usar el algoritmo no tiene sentido.

Entonces me pregunté: ¿Y con una calculadora básica? ¿Una tan básica que ni siquiera nos ayudara con las potencias?

Obviamente, todo se puede reducir a multiplicaciones y divisiones sucesivas, así que el algoritmo era claramente factible, aunque muy lento debido a que habría que reintroducir una y otra vez los factores. Esto se podría acelerar usando la memoria, pero recordé que algunas de las calculadoras que he tenido (y que ya no tengo) asumían que en ausencia del segundo operando se usaba de nuevo el primero en todas las operaciones al pulsar la tecla igual. Esto permitía por ejemplo calcular el cuadrado de 604 pulsando simplemente 604*=. O el inverso de 17 pulsando 17/==. Podríamos entonces calcular el logaritmo decimal sin disponer de tecla log, ni potencias, ni memoria. Y sobre todo, nos evitaría tener que reintroducir los operandos. Esto haría que el algoritmo fuera práctico para calcular logaritmos decimales.

Desgraciadamente, no sé qué fue de aquellas calculadoras que tuve. Creo que esta característica del segundo operando era bastante común, pero la que tengo ahora no es apropiada, así que busqué una válida.

En el trabajo encontré una antigua muy básica de sobremesa con memoria y raíz cuadrada (teclas que no pensaba utilizar) que me servía perfectamente. Efectivamente, el algoritmo es práctico (no se hace largo), y sorprendentemente preciso.

Lo malo es que no todos tenemos las mismas calculadoras “especiales”, así que tuve que buscar una “online” que me sirviera. Pronto encontré una, que es la del link del enunciado. En otras circunstancias (con más tiempo), habría preparado yo mismo una página con esa misma calculadora sin la publicidad (la calculadora se puede extraer de la propia página), pero no me daba tiempo.

Y eso es básicamente todo. Para que pareciera más complicado, decidí añadir lo de “expresado en base B”, porque sugiere un trabajo de conversión extra entre bases al final. Algo que, curiosamente, en realidad es una reducción del trabajo.

Hay un punto débil en todo esto y es que el enunciado dice también “usando solo la calculadora” y esa era mi intención, que Roberto no tuviese que hacer operaciones mentales.

Esto no es del todo cierto porque la parte entera del logaritmo que obtenemos contando las primeras divisiones por B está en base 10. Esto obliga a Roberto a pasar la parte entera de base 10 a base B “de cabeza”. No obstante, es algo tan sumamente simple que supuse que hasta un tonto podría hacerlo si el número original no era muy grande. Así que añadí al enunciado lo de “no muy grande”, y puse un ejemplo pequeño cualquiera con base 6.

Tan pequeño, que la conversión mental de base 10 a base 6 no es necesaria.

Es muy curioso que tres de los Desafiados (¡la mitad!) hayáis pasado inicialmente por alto lo de “expresado en base B”, y hayáis enviado el algoritmo correcto que expresa el resultado en base 10. Esto me ha permitido algunas risas, pero habéis sido rápidos y todos habéis encontrado y corregido el fallo a tiempo sin que os dijese nada.

Lo de la cuenta de las pulsaciones surgió después de empezado el Desafío. Yo me había quedado con el algoritmo general (no optimizado para ninguna base) y no había considerado contar las teclas, pero pensé que podría servir de pista (o para despistar) y de acicate para encontrar el sistema (siempre que os dieseis cuenta de que la calculadora era un poco especial).

Esto acabó en un intento tardío y mal llevado de promover una competición que nunca llegó a arrancar. Tras recibir un par de correos con optimizaciones ajustadas a la base 6 basadas en la memorización por parte del mago Roberto de potencias de 6 o de otros números u operaciones mentales para reducir el número de pulsaciones, decidí que esas cosas eran demasiado complicadas para Roberto. Yo prefería la elegancia del sistema original (que funciona por si solo sin necesidad de que Roberto recuerde nada más que la base B ni calcule nada mentalmente).

Desgraciadamente, nada de esto formaba parte del enunciado y, como no dejaba clara mi intención, eso había provocado las ideas de optimización “complejas” que habíais enviado. Así que tuve que improvisar dos categorías de optimización: una libre, para que incluyeseis lo que quisieseis y una estricta (con un Roberto “tonto” que solo sabe seguir instrucciones y comparar con 6) que se adaptaba más a mi idea (y a mis propias capacidades como posible mago de feria), y que era la que yo quería seguir.

El único de vosotros que ha corrido de verdad por esta improvisada “pista de atletismo para tontos” ha sido Rubenman. Unos pocos hemos intentado seguirlo (me incluyo), pero Rubenman nos ha sacado varias vueltas de ventaja. Jajaja, qué mal suena esto… ;-D. Atentos a su ingenioso atajo “/6*”. Requiere de Roberto cierta memorización abstracta, pero nada especial.

Es una lástima que el Desafiante (o sea, yo) no haya estado a la altura para al menos ver el potencial que escondía el juego con la calculadora.

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Al final no ha habido competición real en ninguna categoría, pero las sensaciones del Desafío han sido buenas y hemos obtenido un completo. El Desafío entero era una tontería improvisada, pero parece que en general os ha gustado (a Rubenman le ha gustado incluso la optimización) y puedo ceder contento el relevo al próximo Desafiante, que seguro que lo hará mejor.

El próximo jueves nuevo Desafío de Sebas

Soluciones:

D218_Dospew

D218_Mmonchi

D218_Rubenman

D218_Sebas

D218_SPZ

D218_Suschus

D218_Tarzán

Desafío 218

La calculadora (Superpanzeta)

Se cumplen ahora 2 años de la triste desaparición de Roberto Pógrafo, el célebre “abuelo” del pueblo de Dospew que amenizaba las fiestas con sus trucos matemáticos (ver Desafío 215). Todavía se recuerda bien su último truco, el que acabó provocando su desaparición.
Roberto pedía a su audiencia un entero B mayor que 1 y menor que 11, y otro número real R no muy grande con bastantes decimales (que también podían ser cero). Escribían el número en una pizarra a la vista de todos.
Acto seguido, Roberto se daba la vuelta, y, oculto por su capa y su sombrero de ala ancha, empezaba a hacer pequeños movimientos. Luego recitaba un dígito en voz alta (seguido a veces de la palabra “coma”) y seguía con sus extraños movimientos. Decía otra cifra (seguida a veces por “coma”) y seguía haciendo algo bajo la capa, y así hasta que, juntando todas las cifras y la coma que había ido dictando se obtenía un número final que era el logaritmo en base B de R, expresado en base B con bastantes decimales.
Este truco le salió bien un par de veces hasta que uno de los espectadores, sospechando que Roberto hacía algo raro bajo la capa, se la arrancó de un tirón mientras Roberto efectuaba el truco.
La sorpresa de la multitud fue grande cuando vieron que Roberto tenía una calculadora entre las manos.

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Nunca se supo muy bien cómo sucedió, pero unos segundos después, Roberto se alejaba alegremente río abajo recitando algo que no ha trascendido, pero que probablemente eran versos de Espronceda.
Uno de los espectadores, aquel que le había quitado la capa, iba a arrojar también la calculadora al río cuando se dio cuenta de un detalle y todos fueron a mirar. La calculadora no tenía logaritmos.
¿Cómo lo haces? le gritaron a Roberto, ya en la lejanía. Seguramente, Roberto no pudo oirlos, ya que, en vez de explicarles el truco empezó a hacer unos extraños y simpáticos gestos con el dedo corazón que aquella multitud no supo interpretar. Finalmente, Roberto desapareció tras un recodo del río y ya nunca volvieron a verlo.
Se dice que la calculadora de Roberto era exactamente igual que esta: https://www.kalkureka.es/calculadora-basica/
Suponed que la multitud ha decidido, por ejemplo, que B=6, y que R=312.4508712126

¿Cómo haríais vosotros el truco usando solamente esa calculadora básica?

Soluciones hasta el lunes 26 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 210

Superpanzeta dice:
La ley del péndulo, ¡sin nada de física!

Después del Desafío anterior, tenía que irme al otro lado y poner uno fácil de verdad.

Ha dado más juego del que tenía previsto (tanto es así, que Suschus no ha encontrado ninguna solución óptima), así que estoy contento. Quien más, quien menos, todos habéis necesitado al menos un par de intentos (o algunos más) para encontrar las soluciones, así que ha habido entretenimiento bastante más allá del tiempo que se tarda en comerse un helado.

Me da la sensación de que hubiera sido más indicado para el plazo antiguo que teníamos (de Jueves por la mañana a Lunes por la noche), sobre todo teniendo en cuenta las fechas, pero la duración extendida que tenemos ahora ha estado bien porque ha permitido el trabajo sin prisas y la incorporación de algún rezagado. Así ha sido más veraniego.

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Comparando la participación entre el Desafío anterior y éste, queda claro que el movimiento del péndulo ha sido positivo. Además, por lo que a mí me toca, ha sido muy, muy fácil de llevar.

Respecto a las soluciones, no hay gran cosa que comentar. Las del primer puesto son esencialmente iguales, pero siempre son interesantes los comentarios, razonamientos (cuando los hay) y la presentación de cada uno, incluyendo también las soluciones no óptimas de Suschus.

Gracias por la alta participación, y ¡hasta el siguiente y más allá!

Soluciones

D210_Dospew

D210_Mmonchi

D210_Rubenman

D210_Sebas

D210_SPZ

D210_Suschus

D210_Tarzán

Desafío 210

La seguridad es lo primero (Superpanzeta)

Federico Hete trabaja en una pirotecnia que ha sido contratada para amenizar las fiestas de un pueblo con un espectáculo de fuegos artificiales.

El Ayuntamiento ha cedido un terreno cuadrado de 100m de lado, completamente plano, para la instalación de los cohetes, y esto preocupa a Federico.

El espectáculo está diseñado para que haya 6 puntos de lanzamiento separados entre sí por un mínimo de 50 metros, pero las medidas de seguridad obligatorias imponen requisitos más severos. Para evitar que un accidente en uno de los puntos de lanzamiento afecte a los cohetes preparados en cualquier otro punto, la separación entre éstos debe ser superior a 60 metros. La distancia al público no es problema porque estarán al otro lado del río.

cohetes

Federico no está seguro de que un campo de 100×100 m sea suficiente.

¿Vosotros qué opináis?
Si creéis que se puede, debéis decir cómo.
Si creéis que no se puede, debéis decir qué distancia mínima máxima podéis conseguir, y cómo.

Como segunda parte, ¿qué distancia mínima máxima se podría conseguir si fueran 7 los puntos de lanzamiento?

La primera parte es casi un clásico. De la segunda no tengo solución (así participo yo también), aunque probablemente también estará estudiada. Se ruega no buscar por ahí.

Soluciones Desafío 209

Superpanzeta dice:

Hola a todos. Si cometéis el error de abrir mi fichero (que no solución), os encontraréis con el famoso “problema original” objeto de la votación fallida que tuvimos en el blog.
Allí comento que la solución original puede quizá servir para el caso particular descrito, pero desde luego le falta algo (o me falta a mí) para que se pueda aplicar a la detección de edades válidas en el caso general. Sin embargo, ¿quién puede resistirse a complicar un problema?
Detectar edades me parecía más atractivo que pedir una demostración de un caso elegido para que fuera más o menos fácil, y así nació este Desafío.
Como ya bien sabéis, no ha ido bien del todo. Ya me lo temía, y así ha sido: no he sabido responder a las preguntas que me inventé, y como resultado no he sabido dirigir el Desafío. Combinándolo todo con una respetable dosis de holgazanería debida al calor, el resultado ha sido un pequeño desastre, solo salvado por la paciencia y lucidez de Rubenman. Por otro lado, debo resaltar a otro Pitagórico que posiblemente haya trabajado tanto como Rubenman, aunque haya sido dando vueltas a la bahía sin llegar a buen puerto: nuestro marinero Sebas. Entre los dos me han enviado alrededor de 50 correos.

Win numbers and lottery balls
Habréis visto, o veréis, que Rubenman utiliza una estrategia descendente, laboriosa pero eficaz, y se especializa en encontrar fallos hasta que llega bajando al famoso 49, donde no encuentra ninguno. Todos los casos que ha analizado corresponden a la realidad, lo que da una idea de lo completo de su análisis.
Con el descubrimiento, no solo de la cuenta, sino del contenido de los 2 boletos extra del 51, volvemos a confirmar que a Rubenman no le afecta el calor.
Respecto a la tercera pregunta, ya veis que no hay edad única, y que todas son absurdamente altas. De ahí hacia abajo (edades menores), las probabilidades de que todo el sistema salga más caro van aumentando. Creo que el cálculo exacto está fuera de nuestras posibilidades, pero, como bien dice Rubenman, no es necesario cálculo alguno.
Si os ha parecido rara esta tercera pregunta, como comenta nuestro acertante en su solución, es porque mi primera idea era otra. Cuando vi que había casos que fallaban en un único sorteo, ó en 2, ó en 7, me imaginé a Primitivo comprando boletos nuevos para cubrir esos posibles fallos, a razón de un boleto por cada fallo.
Y eso es exactamente lo que hay que hacer cuando el número de fallos es pequeño y los fallos no tienen muchos números coincidentes (como por ejemplo los 2 fallos del 51), pero si el número de fallos crece (y lo hace cada vez más rápido al aumentar la edad), ya no será necesario comprarlos todos.
Pero yo no me di cuenta. El mínimo que yo creía que os pedía (comprando un boleto extra por cada fallo) no tenía mucho sentido, y además era demasiado difícil de encontrar. Por si tenéis curiosidad, la respuesta original (equivocada) a esta absurda tercera pregunta eran 63 años, con una compra de 235435 boletos.
Afortunadamente, el razonamiento de Rubenman permite dar respuesta a la tercera pregunta sin necesidad de modificar el enunciado (no pedí el número de boletos sino la edad). Lo único que ha cambiado es la respuesta esperada, que ahora es, además de correcta, muchísimo más barata.
Para terminar, pediros perdón por lo poco veraniego del Desafío y lo mal que lo he preparado y llevado. Solo os pido que guardéis las antorchas para cuando haga menos calor.

Soluciones

D209_Rubenman

D209_SPZ