Soluciones Desafío 140

Pardillano dice:
Quedo muy contento con la alta participación. El desafío se trataba de encontrar un envase mejor que el cubo, y todos habéis dado rápidamente con el prisma hexagonal. Con eso bastaba.
Pero algunos habéis ido mucho más allá. Mmonchi, Rubenman y Tarzán llegan al dodecaedro, por diferentes métodos. Rubenman por el mismo que yo, inflar las pelotas, je, je, y Mmonchi y Tarzán deformando el prisma hexagonal, cosa que no se me había pasado por la cabeza.
Y respecto al octaedro truncado, me quito el sombrero con Sebas. Hace falta mucha imaginación espacial para deducir que tesela el espacio y sacar sus vistas.
En las soluciones podéis ver los geos con los poliedros en 3D.

D140_imagen_blogOs dejo con un vídeo que muestra como el octaedro truncado tesela el espacio.
https://youtu.be/QqjU4wuagxw
El próximo jueves nuevo Desafío, de Sebas,

Soluciones

Desafío 140

Gazpacho para todos (Pardillano)

La lista de aportaciones españolas al progreso técnico de la humanidad es lamentable: el autogiro, el submarino, la fregona y el chupachús, del que ya hacen algunos años. Visto que lo de inventar no es lo nuestro, ¿qué tal si compensamos al mundo compartiendo algo valioso que hasta ahora sólo nosotros disfrutamos?.

¿Qué tal el gazpacho?. Seis mil y pico millones de personas lo desconocen. No es justo. Todo el mundo merece la oportunidad de tomarse un gazpachito en verano. Bueno, pues vamos a ello. Vamos a inundar el planeta de gazpacho.

¿Cómo?, pues en tetrabriks, que hay que llevar refrigerados a todos los rincones del mundo. Pero esto hay que hacerlo a un precio asequible, para lo que tendremos que reducir al máximo costes superfluos.

Podemos ahorrar costes reduciendo el envase. Los envases que vamos a exportar tienen que ser de 1 litro. Bueno, pues el típico tetrabrick de 1 litro tiene de dimensiones 1,6 x 1 x 0,625 (en decímetros y despreciando el espesor del envase). Esto quiere decir que tiene dos caras de 1×1,6, otras dos de 1×0,625 y otras dos de 1,6×0,625, que nos dan una superficie de 6,45 dm^2.

Así que nos planteamos buscar otras formas de envase, siempre de capacidad de 1 litro, que requieran menos superficie. Esto nos permitirá reducir la cantidad de cartón, plástico y aluminio para fabricar el envase.

Por ejemplo, y esta es mi apuesta para este desafío, que tendréis que superar, yo propongo envases cúbicos de 1x1x1 dm. Esto da también 1 litro de capacidad, pero sólo tiene 6 dm^2 de superficie.

Los que estáis pensando en envases esféricos de unos 0,62 dm de radio y una superficie de unos 4,836 dm^2 esperad, que hay algo que aún no hemos contado.

Para el transporte, los envases se meten lo mejor empaquetados posible en contenedores refrigerados. Y se paga por contenedor, por lo que hay que aprovechar al máximo su volumen. Si usáramos envases esféricos, desperdiciaríamos un porcentaje importante del volumen del contenedor en los intersticios que quedan libres entre los envases, lo que tendría un impacto en el precio final mucho mayor que el del ahorro de material del envase.

Así que al envase que diseñemos le pedimos que tenga una forma que permita apilarlo para aprovechar “completamente” el espacio del contenedor. Entrecomillo el “completamente” porque siempre se perderá un poquito de espacio en los bordes (paredes del contenedor), pero estos efectos de borde los vamos a despreciar. Nos quedamos en que precisamos una forma de envase “apilable” ocupando todo el espacio, sin intersticios vacíos entre los envases. Simplifiquemos admitiendo solo envases con caras planas, todos idénticos, que sin embargo se podrán girar a la hora de empaquetarlos. Es decir, para rellenar todo el espacio sin intersticios, un envase no tiene por que mantener la misma orientación que su vecino.

Cualquier forma de envase “apilable sin intersticios” de 1 litro de capacidad que mejore mi propuesta (menos de 6 dm^2 de superficie exterior) es válida como solución al desafío. Si podéis, además de describir o dibujar la forma, proporcionad alguna medida que determine su tamaño, y calculad su superficie, que estará entre los 4,836 de la esfera, inigualables, y los 6 dm^2 de mi solución.

La mejor solución de este problema es conocida y se puede encontrar en internet. Obviamente, la gracia es que cada uno de con una solución, aunque no sea la mejor, por sí mismo.

D140_imagenSoluciones hasta el lunes 16 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 131

Pardillano dice:

Ante todo, quiero agradeceros vuestra participación, en especial a Tarzán, que me envió un avance el viernes al que no respondí hasta el lunes, limitando su tiempo para redactar su solución.

La idea de este desafío surgió cuando leí en la wikipedia, preparando un desafío anterior, la propiedad de los números de Fibonacci siguiente:

MCD(F(n),F(m))=F(MCD(n,m))

A mi esta propiedad me sorprendió muchísimo. Me pareció “mágico” que el MCD de dos números de Fibonacci cualesquiera tenga que ser por fuerza otro número de Fibonacci, y que la propiedad nos indique además cual es, y dependa sólo de los índices. Llegué a dudar si había un error en la Wikipedia y tuve que comprobar que se cumplía.

Usando esa propiedad de los números de Fibonacci, la resolución de las dos partes del desafío es inmediata, como se puede ver en la brillantemente sintetizada solución de Sebas. Sin ella, la resolución del desafío es más larga, como se puede ver en las soluciones de Rubenman, Dospew y SPZ.

En el fondo, los pasos que seguís para resolver el desafío son parecidos a los que permiten demostrar la propiedad indicada. La demostración en si no está en ninguna de las soluciones, pero el que da más pistas es Tarzán, que aunque la ha obtenido no la detalla explícitamente.

Si alguno se ha quedado con ganas, le recomiendo como ejercicio divertido obtener esa demostración. Yo no he llegado a “comprender” la fórmula hasta que no me puse con ella (lo que ha hecho desaparecer “la magia”).

Imagen_blog_D131El próximo jueves nuevo Desafío de Superpanzeta

D131_Dospew

D131_Pardillano

D131_Rubenman

D131_Sebas

D131_SPZ

D131_Tarzan

Desafío 131

La familia Fibonacci (Pardillano)

Demostrar que si dos números de Fibonacci son primos entre sí, entonces son primos entre sí.

¡¡ Qué satisfacción !!. Por fin he conseguido proponer un desafío con un enunciado corto.

Pero claro… ya estoy imaginando lo que va a pasar. Que si es una perogrullada, que si estoy seguro de haberlo escrito bien… Me veo leyendo y respondiendo aclaraciones en el blog hasta que se termine el plazo. Así que muy a mi pesar, estropearé un poco el enunciado:

Demostrar que si dos números de Fibonacci son primos entre sí (en el sentido de parientes), entonces son primos entre sí (en el sentido matemático).

¿Mejor?… ¿cómo?… ¿Que todavía no está claro?… Vale, lo explico.

Dos individuos son primos si comparten un abuelo común ¿no?. Pues eso, dos números de Fibonacci serán primos si tienen un abuelo común.

¿Que que es eso del abuelo de un número de Fibonacci?. Vaya, hay que explicaros todo. El abuelo/abuela es el padre/madre del padre o madre. Dejémonos de sexo con la familia Fibonacci y digamos que el abuelo de un número de Fibonacci es cualquier otro número de Fibonacci que sea progenitor de uno de los progenitores.

Supongo que ya imagináis a qué llamamos progenitor. Pero por si acaso, lo aclaro. Cada número de Fibonacci resulta de la suma de los dos anteriores, ¿no?, pues esos serán sus progenitores. Por ejemplo, los progenitores del 13 serán el 5 y el 8.

Espero que quede claro, pero por las dudas, planteémoslo de un modo más formal.

Diremos que dos números de Fibonacci A y B son progenitores de otro número de Fibonacci C cuando A+B=C, siendo todos mayores que cero. Diremos que un número de Fibonacci A es abuelo de otro número de Fibonacci C, cuando exista un número de Fibonacci B tal que A es progenitor de B y B es progenitor de C. Diremos que dos números de Fibonacci B y C son primos entre sí en el sentido de parentesco, cuando son diferentes y además existe un número de Fibonacci A que es a la vez abuelo de B y de C. Con las definiciones previas, demostrar que si dos números de Fibonacci B y C son primos entre si en el sentido de parentesco, entonces son primos entre si en el sentido matemático (no tienen ningún factor primo común).

Vaya horror. Me habéis obligado a estropear el elegante enunciado original.

Pues hala, ya puestos, y como venganza, os voy a poner una segunda parte:

Comenzando a numerar los números de Fibonacci así:

F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, F(4)=3, F(5)=5, F(6)=8, F(7)=13…

Comprobar a mano, sin usar hoja de cálculo ni programas informáticos, si F(371) y F(581) son primos entre sí (en sentido matemático).

Por si alguno está tentado de explorar con ordenador, le diré que el primero que es un número de 78 cifras y el segundo de 122:

F(371)=153083904475345790698149223310665389766178449653686710164582374234640876900329

F(581)=11812286801740393957266726453428020888948575827744560125782542771857200827110775109258994402139301895418273142575204123781

Imagen_blog_D131Soluciones hasta el lunes 13 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 128

Pardillano dice:
Como habéis visto rápidamente, detrás de este juego de fichas y casillas se esconden los números de Fibonacci. Realmente, la idea original era el problema “paralelo” que veréis en mi solución, consistente en sumar números de Fibonacci consecutivos. Al transformarlo en el Canbifico solo pretendía despistar para que no fuera tan evidente. Deje la pista del nombre del juego, anagrama mal calculado de Fibonacci (debería ser “Canbifico” en lugar de “Canbicfico”, puesto que Fibonacci tiene dos ces). Fue Rubenman quien se percató el primero de este error.

D128_imagenblogOs dejo con las soluciones, y para el que se quiera entretener, con este juego que fue la inspiración del desafío:

http://www.coolmath-games.com/0-2048-fibonacci

D128-Dospew

D128_Pardillano

D128_Rubenman

D128_SPZ

Desafío 128

Jugando al Canbicfico (Pardillano)

El  Canbicfico se juega en un tablero con N casillas, numeradas de 1 a N, y un número determinado de fichas, todas del mismo color. Las casillas 1 y 2 son especiales, como veremos en las reglas básicas siguientes:

  • La casilla número 1 se reserva a las fichas que son comidas. Una vez una ficha entra ahí, no podrá salir.
  • Inicialmente, todas las fichas están en la casilla número 2.
  • En cada movimiento, el jugador elegirá una ficha, que comerá a otra. La ficha comida se moverá a la casilla 1, y la ficha que come acabará en la casilla siguiente a la que ocupaba la comida.
  • Una ficha de la casilla número 2 puede comer de dos modos: a otra ficha de la misma casilla (acabando en la casilla 3), o a una ficha de la casilla 3 (acabando en la 4).
  • Una ficha de cualquier otra casilla (excepto la 1) solo puede comer de un modo: a una ficha de la casilla siguiente acabando en la casilla dos posiciones más allá. Por ejemplo, una ficha en la casilla 4 solo puede comer a una ficha de la casilla 5 para acabar en la casilla 6.
  • El juego termina cuando no hay ningún movimiento posible. Esto sucederá cuando las fichas que no hayan sido comidas (que no estén en la casilla 1) no puedan comerse entre sí.

En la figura hay un ejemplo de las reglas para comer fichas. Partiendo de una situación en la que tenemos las fichas 1, 2 y 3 en la casilla 2 (la inicial), y la ficha 4 en la casilla 3, solo hay dos posibilidades: que una ficha de la casilla 2 se coma a otra de la misma casilla (permitido por ser la casilla inicial), o que se coma a la ficha de la casilla 3. En la figura se indica como acaba el tablero con cada opción. Si continuáramos el juego para la primera opción solo habría una posibilidad: que la ficha de la casilla 2 se coma a una de las fichas de la casilla 3, acabando en la 4. Nótese que las fichas en la casilla 3 no podrían comerse entre sí, ya que comer a una de la misma casilla solo se permite en la casilla 2. Si continuamos el juego para la segunda opción también habría una única posibilidad: que una de las fichas en la casilla 2 se coma a la otra.

casillasCon estas reglas básicas, se puede jugar a una variedad de juegos, dependiendo del número de jugadores y el objetivo de cada uno.

Para este desafío, iremos a la variedad más simple. Hay un solo jugador, y su objetivo es comer todas las fichas menos una, que debe acabar en la última casilla (la N). Las preguntas del desafío son:

  • ¿Cuáles son los posibles valores del número de fichas para poder ganar el juego?. Es decir, ¿qué número de fichas debe haber inicialmente en la casilla 2 para que sea posible acabar el juego comiendo todas las fichas menos una? (todas las fichas menos una en la casilla 1).
  • Para esos casos, ¿se te ocurre una estrategia simple para ganar?. Es decir, cómo debe jugar el jugador para asegurar que acabará con una sola ficha sin comer.
  • ¿Se te ocurre una estrategia simple para perder?. Es decir, que podríamos hacer para buscar deliberadamente una situación de bloqueo, en la que queden más de una ficha fuera de la casilla 1 que no puedan comerse entre sí.
  • ¿Sabrías calcular el número de posibles posiciones del tablero diferentes que se pueden dar a lo largo de la partida jugando al Canbicfico de 6 casillas? (N=6).

Soluciones hasta el lunes 1 de junio a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 123

Pardillano dice:

Tras este fiasco-engendro-desatino de desafío se esconde un problema que a mi me pareció bonito: el protocolo para compartir secretos de Shamir es perfecto cuando se usa aritmética modular sobre un número primo. En la última parte de mi solución explico la relación.

Se me ocurrió después del desafío de la abuela aventurera. A mi me pareció casi mágico, que las fórmulas para despejar el secreto en las ecuaciones deducidas para aritmética “normal” funcionaran directamente en aritmética “modular”. También me sorprendió lo bien que cuadraba todo: por mucho que manejáramos las relaciones con N-1 puntos, cualquier secreto era tan probable como cualquier otro.

Dediqué un tiempo en su día, por gusto, a investigar eso, y se me ocurrió que daría para un desafío. Mejor dicho, dos. Sólo acostumbrarse a operar con aritmética modular llevaba uno. Me puse a redactarlos, seguidos, y como el desafío de la abuela estaba reciente, me pareció que tenía que esconder lo que se pretendía.

Gran error. Inscribir el problema en una historia diferente me hizo dar muchas vueltas para que la historia fuera coherente. La conversación entre el meteorólogo y el presidente, las tablas de evaluación… todo paja para esconder un problema de enunciado sencillo. Y lo peor, que ha despistado pensando que esa paja eran pistas. No lo eran, solo son elementos de la historia intrascendentes para el problema matemático. Tengo que pensar seriamente participar en otro club, el del abuelo cebolleta, para descargar ahí mi afición a contar historietas y dejar Club Pitagóricos para las matemáticas.

Aun con todo, no había quedado claro lo que se pretendía (una demostración), ni la intención de la historia. Como epílogo de la misma diré que el meteorólogo esperaba que los opositores listos se dieran cuenta de que fijándose en sus dos vecinos averiguaban el número secreto.

En cuanto a las soluciones, solo veréis la de Rubenman, pero Super también ha estado ahí. Ambos han perdido mucho tiempo, y lo lamento, dando vueltas a entender lo que había que hacer (y temo que no hayan sido los únicos).

La solución de Rubenman muy interesante, aunque no haya obtenido las respuestas como yo pretendía (culpa mía, por el modo de enunciarlas). Destacan varias cosas. Una de las que me ha llamado la atención es que usa la solución de una ecuación de segundo grado con un polinomio en aritmética modular. Alucinante, porque funciona. Le sirve para averiguar los posibles P de la parte opcional cuando se usa la información de dos formularios. No lo veréis hasta el final, porque la última parte la hizo en una hoja de cálculo difícil de interpretar, y que no se incluye. Pero yo que si la he tenido he comprobado que esos 28 valores coinciden con los míos. Yo los hallé a lo bruto haciendo al ordenador realizar unos millones de iteraciones, pero Rubenman los ha obtenido con una combinación de deducciones y paciencia. Ole.

D123_imagen_blogEl proximo jueves nuevo Desafío de Rubenman

d123_pardillano

D123_Rubenman