Soluciones Desafío 43

Maito dice:

Esta semana el reto, aunque escaso en participación, creo que esta ha dado un abanico de respuestas interesantes, analítica, geométrica, clásica, intuitiva y los ilustrativos geos. Como se ha comentado es una homotecia, tema muy interesante y que siempre es recomendable refrescar. Espero que os hayáis divertido y que disfrutéis de las respuestas.

El jueves nuevo Desafío de Sebas

D43 Dospew

D43_Maito

D43_Pardillano

D43_Rubenman

D43_Sebas

Desafío 43

Puntos móviles (Maito)

En una circunferencia fijamos los extremos de un diámetro A y B, unimos un punto cualquiera P al punto A, consideremos un punto cualquiera M del segmento AP y unimos este con el punto B. Por último consideramos un punto N del segmento BM tal que AP/MP = BM/NM = k.

Cuando P se mueve a lo largo de la circunferencia completa, M se mueve describiendo una trayectoria cerrada y N también lo hace describiendo otra trayectoria cerrada, las tres trayectorias encierran superficies delimitadas. Se pide:

 1. La relación de proporcionalidad de las superficies que encierran las trayectorias que describen cada uno de los puntos P, M y N al moverse, es y decir SP/SM y SM/SN

2.  El valor de k para que las trayectorias de M y N sean tangentes entre sí+

3. El valor de k para que el segmento BP sea tangente a las trayectorias de M y N. cuando P es equidistante de A y del centro de la circunferencia.

Soluciones antes de las 23:59:59 h del lunes a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 27

Maito dice:

Este problema es un caso práctico del poco conocido y muy interesante teorema de Pick, según el cual:

Dado un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Si B es el número de puntos enteros en el borde, I el número de puntos enteros en el interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:  A = I + B/2 – 1

Para una superficie constante a mayor I, menor B, como el polígono con menos vértices es el triángulo, tenemos que B = 3, y en nuestro ejemplo que I = 12.

Algunos como SPZ y Tarzán fueron al grano aplicando el teorema, rubenman lo dedujo, Sebas en otra línea nos ofrece infinitos triángulos y dospew ofrece otra singular respuesta-

En fin, a pesar de la baja participación creo que ha salido mejor de lo que pensaba, gracias a vuestra atinada participación.

El jueves nuevo Desafío, otro triángulo de Sebas

D27 dospew

D27 Maito

D27 rubenman

D27 Sebas

D27 SPZ

D27 Tarzán

Desafío 27

La chopera (Maito)

Un fin de semana Pitagorín y su grupo de boys maths se fueron de excursión y encontraron una chopera en la que todos los chopos formaban una cuadrícula perfecta con 2 metros de separación .

Repartió los chavales en dos grupos y dándoles sendas cuerdas les pidió que hiciesen una figura rodeando varios árboles.

Cuando acabaron los del primer grupo dijeron haber hecho una B, apoyándose en 20 árboles y dejando en el interior12. A lo cual el otro grupo replicó que habían hecho una V apoyándose sólo en 12 y con 16 en el interior, considerándose ganadores.

Como empezaron a picarse Pitagorín dictaminó que habían empatado ya que el área era la misma y les propuso construir la figura de 50 m2 que contuviese en su interior el mayor número de árboles.

¿Cuál es?

Soluciones a clubpitagoricos@gmail.com hasta el lunes a las 23:59:59 h

Soluciones Desafío 22

Maito dice:

El título del desafío se refiere a los famosos problemas de Apolonio sobre las circunferencias tangentes a tres dadas, pero el problema en sí versa sobre el teorema de la altura, según el cual en un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

Se repite la participación  y en vuestras diferentes respuestas habéis observado que la superficie del césped la podemos expresar como el producto del perímetro de una piscina por el radio de la otra o que dependa sólo de la longitud del muro y no tanto del radio del terreno o de las piscinas (aunque sí del producto).

Además habéis deducido que las cuatro ventanas son tangentes y ocupan toda la longitud del muro por lo que no se podría construir la parte superior, salvo que no se pusiesen alienadas si no en dos alturas.

Realmente estaba muy por debajo de vuestras posibilidades, pero así habéis tenido más tiempo para bañaros.

Un saludo y espero que el próximo nos haga trabajar un poco más.

 

El jueves nuevo Desafío, lo siento…..  del aguafiestas Sebas

D22 alfalfa

D22 Dospew

D22 Jesus Chus

D22 Maito

D22 Pardillano

D22 Rubenman

D22 Sebas

D22 Superpanzeta

D22 Tarzan

Desafío 22

Las piscinas del tío Apolonio (Maito)

El tío Apolonio quiere construir en un terreno circular dos piscinas circulares tangentes entre sí y a su vez tangentes al límite del terreno, la mayor será para adultos y la menor para niños.

Estarán separadas por un muro con cuatro ventanas de forma elíptica con una excentricidad de 0.6 y cuyo eje focal es 3/20 de la longitud del muro.

Alrededor de las piscinas plantará césped y se trata de demostrar que la razón entre superficie de dicho césped y la de una ventana es el doble que de la longitud del muro con la altura de la ventana, y encontrar el valor de dicha razón.

Soluciones a  solucionesclubpitagoricos@gmail.com hasta el lunes a las 23:59:59 h

Desafío 9

Los mensajeros (Maito)

Una empresa tiene un servicio de mensajería entre sus seis oficinas de manera que todos los días conecta todas las oficinas entre sí. Este servicio lo cubre con dos mensajeros y se trata de demostrar que al final del día al menos uno de los mensajeros ha hecho todas las conexiones entre tres oficinas.

Con el tiempo la empresa abrió once oficinas más y contrató otro mensajero (cambiando las bicis por motocicletas), ¿se sigue cumpliendo que al final del día al menos uno de los mensajeros ha hecho todas las conexiones entre tres oficinas?

Por ejemplo en la figura 1 vemos que para 5 oficinas si es posible encontrar dos rutas en las que ningún mensajero ha conectado 3 oficinas entre sí.

En cambio en la figura 2, vemos que el mensajero de la moto roja ha conectado entre sí las oficinas 1 , 2 y 3.

Solución