Desafío 171

Atraco entre tres (Superpanzeta)

Antonio, Bernardo y Carlos acaban de robar un banco y están discutiendo cómo repartir el botín, pero no están llegando a ningún acuerdo.

Carlos, el conductor que esperaba a los otros dos en la puerta del banco, opina que hay que repartir equitativamente (A=B=C), pero los otros creen que el conductor es el que ha corrido menos riesgos y por ello se merece menos.

Bernardo, el abuelo del grupo, opina que habría que repartir de acuerdo a la antigüedad en la banda, después de descontar la parte mínima del conductor (B>A>C).

Finalmente, Antonio opina que él debería llevarse una parte mayor porque el plan era suyo y también las armas empleadas (A>B>C).

Después de un rato sin llegar a ningún acuerdo, Carlos propone lo siguiente:

-Como somos tres, vamos a proponer los coeficientes de un polinomio de tercer grado. Por ejemplo y si os parece bien, por orden alfabético, así:

Ax^3+Bx^2+Cx. Antonio elegirá el coeficiente A, Bernardo el B, y yo el C.

Evitando los coeficientes complejos, podemos elegir entre positivos, negativos, racionales, enteros, o incluso irracionales, pero no hay que elegir coeficientes demasiado grandes porque luego tendremos que dibujar la curva.

Para completar el polinomio, podemos añadir un término libre que bien puede ser el resultado de tirar un dado, D:

Ax^3+Bx^2+Cx+D

Estaréis de acuerdo conmigo en que el polinomio resultante es impredecible. Bien, pues dibujaremos la curva correspondiente f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D, y luego saldremos a la calle a pedir al primero que pase que elija un punto cualquiera de la curva, que llamaremos P.

Por este también impredecible punto P, trazaremos la tangente a la curva, y la prolongaremos hasta que corte a la curva en otro punto nuevamente impredecible, Q.

Llamaremos area1 a la superficie cerrada comprendida entre la curva f(x) y la tangente entre los puntos P y Q.

Si el punto P elegido provocara un punto Q inconveniente para el dibujo práctico (Q demasiado lejano, area1 demasiado pequeña o demasiado grande), procederíamos a pedir otro punto P.

Por este último punto Q, repetiremos el procedimiento: trazaremos una nueva tangente a la curva y marcaremos la otra intersección con la curva como punto R.

Llamaremos area2 a la superficie cerrada comprendida entre la curva f(x) y esta última tangente entre los puntos Q y R.

Igualmente, si el punto original P causase inconvenientes prácticos al dibujo de esta última tangente, procederíamos a pedir otro punto P.

Finalmente, cuando hayamos conseguido un dibujo apropiado con las dos áreas definidas, procederemos a dividirlas entre sí: resultado = area2/area1.

Y aquí viene mi propuesta:

Si con sólo ver el polinomio inicial (antes de dibujar nada ni pedir el punto P), soy capaz de adivinar el resultado con 9 decimales correctos, nos repartiremos equitativamente el botín.

Si fallo, aunque sea en una milmillonésima, me conformaré con una sexta parte del botín.

Antonio y Bernardo se miran y hablan un rato en voz baja. Cinco minutos después, Antonio se dirige a Carlos:

-Has cavado tu propia tumba. No nos fiamos de ti ni de tus números, y, aunque no sabemos cómo, estamos seguros de que pretendes engañarnos. Desde este momento, quedas automáticamente expulsado de la banda sin derecho al reparto.

Pero nos hace gracia tu propuesta, listillo, así que vamos a devolvértela con algunos cambios:

1- Tú no vas a elegir ningún coeficiente; el tuyo saldrá también del dado.

2- El dado lo ponemos nosotros. (Carlos no lo sabe, pero el dado que planean utilizar está trucado y solo saca números impares)

3- Debes adivinar el número ANTES de ver el polinomio.

Si no aceptas esta propuesta modificada, ahí está la puerta. Te quedas sin nada.

Si aceptas y aciertas el número, a cambio de la dificultad añadida te permitiremos que te lo lleves todo. Pero si fallas, te pegamos un tiro. Sólo tienes una oportunidad, así que lo mejor será que reconozcas que te has pasado de listo y te vayas a tu casa.

Tú decides.

Antonio y Bernardo sonríen, seguros de que Carlos va a elegir la puerta.

¿Cómo sigue la historia, y por qué?

Por si necesitáis aclaración, os adjunto una gráfica de una curva arbitraria con las áreas coloreadas.

areas

Soluciones hasta el lunes 23 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

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21 pensamientos en “Desafío 171

  1. Una vez más, espero que me perdonéis que haya vuelto a olvidarme de incluir una cabra en el enunciado, pero me parece que en este caso ni siquiera eso hubiera salvado el Desafío.

    El único intento en serio que he hecho de obtener una respuesta razonada (o una demostración) al problema ha sido un fracaso, así que de momento no tengo solución. Esto no significa necesariamente que sea difícil. Sólo significa que me he hecho un lío porque le tengo alergia a las ecuaciones con muchos términos. Vamos, que no descarto que sea fácil, incluso trivial. O quizá no…

    No dudéis en usar alguna máquina si lo necesitáis. Yo voy a hacerlo.
    Por supuesto, si tenéis alguna duda, preguntad.

    • Tramposos! Sí que está tu Cabra, está detrás del dado trucado, mi Burro le ha visto la cola, el truco no cuela.
      Por cierto mi Burro descansa detrás de a^b=b^a, ¿eres capaz de verle las orejas?

  2. Dospew y demás podéis salir, no es tan fiero el león como lo pintan, SPZ ha metido la Cabra en su limusina y con las curvas se ha mareado, es más aconsejable un paseo a pié.

  3. Por cierto, ya somos 4 que sabemos el final de la historia. En cuanto al por qué (demostración), sólo 2.
    ¡Y yo soy uno de ellos! (Máquina mediante, de momento)

  4. Hasta ayer, he hecho tres intentos completos de calcular el área por integral definida (lo que me ocupa más o menos un folio con letra grande), y definitivamente, mis oxidadas habilidades de manipulación algebraica no están a la altura. Meto la pata con los signos varias veces, y el resultado acaba siendo erróneo, y siempre diferente.

    La integral en sí es super fácil (incluso para mí que no tengo ni idea), y lo que queda es trivial, pero me pierde el aburrimiento.

    Voy a darle una última oportunidad, y si no me sale, será solo culpa mía. Porque hacerse, puede hacerse sin problemas. Igual si quito la música…
    Ya os contaré.

    Por cierto, creo que solo nos queda un Pitagórico sin demostración, y hay quien dice que no hace falta calcular tangentes.

      • Eureka.
        Al final me ha salido bien, en 2 folios (en realidad 2 caras de papel continuo de impresora tamaño folio, con sus bordes perforados).
        Sí, con letra grande, y a lápiz. E incluyendo el dx.

        No he factorizado nada (no me ha parecido que me ayudase) hasta el último paso, que es lo que me ha hecho gastar más papel.
        Este papel extra es porque el polinomio resultante es un binomio a la cuarta potencia (de lo que no me habría dado cuenta ni en un millón de años si no hubiera sabido la solución de antemano), que factorizo por Ruffini, y me queda la misma fórmula del área bonita y simple que me da Wolfram.

        El resto es una sustitución, división, simplificación y tengo el resultado deseado mondo y lirondo.

        Ha sido solo por demostrarme a mí mismo que podía hacer todos los pasos a mano, y me ha gustado porque he aprendido alguna cosa y he refrescado alguna otra que había olvidado, pero no me siento satisfecho del todo.
        Saber hacia dónde vas es mucha ventaja, y no sé si volveré a intentar algo así en el futuro, así que me consideraré entre los que han respondido a máquina.

        A ver si veo la otra posibilidad menos laboriosa que me sugieren por ahí sin tangentes.

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