Desafío 123

Oposiciones a Arqueomatemático (Pardillano)

El meteorólogo que asesoró al gobierno en el desafío 113 está hundido. Sus colegas no le hablan desde que la Ley de Racionalización de las Matemáticas impuso que solo se pueden usar los enteros de 0 a 100. Le culpan del chocho que se ha montado: los profesores en las universidades imparten sus clases con vergüenza y temor, la investigación está parada, los diseños y los inventos se han vuelto clandestinos…

Así que el meteorólogo acude a La Moncloa para suplicar a su primo el presidente del Gobierno. ¡Por favor, hay que dejar a la gente usar las matemáticas de verdad!. Pero el presidente se resiste a reconocer su desatino. Negativos, fraccionarios, reales, complejos… son historia. ¿Historia?. El meteorólogo tiene una idea. Si son historia, alguien tendrá que conocerla. ¿Qué tal una nueva titulación, la Arqueomatemática?. Los que la obtengan tendrán derecho a conocer, y también a utilizar, las matemáticas convencionales.

Al presidente no le disgusta la idea. Como no hay ni tiempo ni dinero para inversiones, lo mejor sería una oposición, un examen para que los que lo superen puedan ponerse a trabajar con las matemáticas completas inmediatamente. Pero el presidente sólo está dispuesto a que una pequeña parte de la población se saque el título de Arqueomatemático. ¿Qué parte?. Pues como ya no existen las fracciones y no puede ser menos, al 1%, aproximadamente.

¿Cómo realizar un examen oposición para elegir a ese 1%?. El gobierno encarga a la agencia de calificación Standard & Poor’s que establezca un procedimiento. Estos no se complican y proponen un sorteo entre los solicitantes.

¿Un sorteo?. No puede ser. Hay que hacer algo. Al meteorólogo se le ocurre que quizá, cambiando el procedimiento de selección, se pueda conseguir aumentar las probabilidades de superar el examen, al menos para los científicos que tengan conocimientos básicos de matemáticas (las de verdad). Pero colársela al Gobierno no va a ser fácil.

En el adjunto tenéis los detalles y las preguntas a responder del desafío.

D123_Oposiones_Arqueomatematica_Detalles

D123_imagen_blogSoluciones hasta el lunes 23 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

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29 pensamientos en “Desafío 123

  1. Lo leeremos a la tarde. Por ahora ha sido una toma de contacto. Confirmo que tengo amnesia severa porque ya no me acuerdo de aquel otro desafío.

  2. Seguro que estabais echando todos de menos un enunciado de cinco páginas. Y seguro de que los que os pongáis seréis capaces de dar una solución cortita. No puedo comprometerme a lo mismo con la mía, pero no porque sea difícil (que no lo es), sino porque me explayaré contando su relación con otro desafío anterior (y no hablo del 113).

    Espero que se entienda.

      • Por mi parte no echo de menos las amplitudes porque tengo la sensación de que me pierdo. Noto como si no terminase de pillarlo y no es porque no lo entienda porque creo que sí aunque tampoco tengo la seguridad total.
        Hay cuestiones que me despistan. Por ejemplo, si la tabla no puede utilizarse ¿por qué está?, tal vez sea un elemento de orientación o una pista, pero por ahora no lo capto. No sigo con otras porque tal vez esté facilitando el tema sin darme cuenta.
        En otros casos me atrevería a decir que tengo respuesta a alguna de las cuestiones, en el presente prefiero ser algo más cauto; no obstante ya te haré llegar algún comentario para que compruebes si de verdad lo he entendido o necesito una ducha de agua fría.

  3. Lo del sacrilegio del 113 he tardado en pillarlo.

    Aclaraciones: El enunciado es deliberadamente liante porque el meteorólogo está intentando colársela a los de Standards & Poors y al Presidente. La tabla no es una pista para resolver el desafío, sino una pista para entenderlo. El requisito a los solicitantes para que operan con A y B es una excusa para darles pistas. Si quisiéramos un enunciado reducido (excluida parte opcional) sería así:

    Me presento al examen y me dan el formulario de la tercera página del PDF, con A=27, B=41. Leo con atención la nota legal para saber que tengo que hacer y cómo se han calculado A y B. ¿Hay algún valor de la apuesta para P que me proporcione más probabilidad de acertar que el resto?. Luego me fijo en mi vecino de la derecha que tiene A=92, B=13. ¿Qué valor de P elegiría?. Si también me fijo en el vecino de mi izquierda, que tiene A=5, B=86. ¿Mejoran mis opciones?. Si voy fijándome en más y más formularios de otros vecinos ¿Llegaré a estar seguro de acertar de P? ¿Cuando?

  4. Voy a intentar aclarar lo que se pide en el desafío (excluida parte opcional).

    Sabemos P, C y D se han elegido aleatoriamente, entre 101 valores posibles (de 0 a 100). Por tanto, tenemos 101^3 variaciones posibles de esos valores, todas ellas equiprobables. No sabemos cuál de ellas es la que realmente se ha usado para confeccionar la tabla de evaluación y los formularios repartidos a los opositores.

    Recibo el formulario con A=27, B=41. Eso descarta muchísimas de las 101^3 variaciones, ya que solo una fracción de ellas cumplirá la relación B=P+A*(C+D*A) que nos dan a conocer en la nota legal. Ojo, que esa relación es en aritmética modular con base 101. ¿Puedo pensar que entonces un valor de P es más probable que los demás?. Si es así, cuál y por qué. Si no es así, hay que demostrarlo.

    Me fijo en el formulario de mi vecino, con A=92, B=13. Con ese dato, el de que a A=92 corresponde B=13, y con el que ya tenía de mi propio formulario, serán todavía menos las variaciones de P, C y D que satisfagan las dos relaciones. ¿Soy capaz de demostrar que un valor de P es más probable que los demás?, ¿cuál?. O bien, ¿soy capaz de demostrar que todos los valores de P son equiprobables?.

    Me fijo en el formulario de mi vecino a la izquierda, con A=5, B=86. ¿Qué pasa entonces?.

    Me fijo en más y más pares (A,B) de otros formularios. ¿Cómo mejora mi probabilidad de acertar P?.

    Bastante es si llegáis a esto. Para la parte opcional, ya iremos comentando.

  5. Pista 1: Enunciado simplificado.

    Quise esconder el problema del fondo tras un enunciado largo que no apuntase directamente al tema. Por comentarios en el buzón de soluciones, creo que me pasé. Por si alguien lo prefiere, el siguiente enunciado simplificado en Rot13 es más fácil de interpretar.

    Qnqnf ynf 103^3=1030301 inevnpvbarf qr gerf inyberf C, P l Q qbaqr pnqn hab ineín rager 0 l 100 vapyhfvir, pbagne pháagnf qr ryynf irevsvpna yn erynpvóa fvthvragr cnen C=0, cnen C=1, cnen C=2, rgp.

    41=C+27*(P+Q*27) zbq 101

    Nuben pbagne cnen pnqn inybe qr C, ra phnagnf inevnpvbarf qry gbgny fr irevsvpna n yn irm qbf erynpvbarf (pbeerfcbaqvragrf n zv sbezhynevb l n yn qr zv irpvab n yn qrerpun):

    41=C+27*(P+Q*27) zbq 101
    92=C+13*(P+Q*13) zbq 101

    Vqrz cnen gerf erynpvbarf (zv sbezhynevb l ybf qr zvf qbf irpvabf):

    41=C+27*(P+Q*27) zbq 101
    92=C+13*(P+Q*13) zbq 101
    5=C+86*(P+Q*86) zbq 101

  6. Pista 2: no siempre un polinomio de segundo grado es una parábola.

    Ry urpub qr dhr bcrerzbf ra nevgzégvpn zbqhyne rf vzcbegnagr.

    Fhcbatnzbf dhr ab shren nfí, l dhr ry páyphyb qr O=C+N*(P+Q*N) fr uvpvren pba zngrzágvpn pyáfvpn. Cbatnzbf dhr pnhfnyzragr, phnaqb ryvtvreba ny nmne ybf inyberf qr C, P, Q fnyvreba C=P=Q=100. Cbatnzbf dhr lb erpvob ry phrfgvbanevb pba N=100. Ry páyphyb qr O freín O=100+100*(100+100*100)=1010100, ry zákvzb cbfvoyr. Fv lb erpvob ry phrfgvbanevb N=100, O=1010100, fnoeé pba frthevqnq dhr C=100, ln dhr ry úavpb zbqb qr bograre ha C gna nygb rf pba yn pbzovanpvóa C=100, P=100, Q=100.

    Irnzbf dhr cnfn hfnaqb nevgzégvpn zbqhyne. Pba ybf zvfzbf inyberf C=P=Q=100, fv erpvob ry sbezhynevb pba N=100 graqeé O=100 (erfhygnqb qr 100+100*(100+100*100) zóqhyb 101). Creb cbqeín unore bogravqb ry zvfzb inybe pba bgebf inyberf qr C, P, Q, cbe rwrzcyb C=37, P=78, Q=40. Rf qrpve, erpvove ha sbezhynevb pba N=100, O=100, ab zr crezvgr qvfgvathve ha pnfb qr bgeb.

  7. Intuyo un fracaso rotundo por mi parte. Estoy tan desorientado que igual me hubiera atrevido más con la segunda parte que con la primera, con esto creo que ya digo cómo voy…

      • Calcular el número P, no tiene mucho misterio y lo del número de parejas AB, parece que tampoco. De ahí que me haya centrado exclusivamente en esa tercera pregunta que comentas.
        Empecé con un formato que no me sirvió de mucho, aunque tiene bastante miga. Con esto me ha permitido conocer el comportamiento que tiene cualquier terna c-d-p.
        Al hablar de “comportamiento”, no quiere decir que sepa los valores, sino cómo se comportan globalmente, pero eso no es lo que se pide y tampoco es de mucha ayuda.

        Como me había perdido en las musarañas lo dejé reposar. Lo volví a retomar intentando sacar algo más respecto a las preguntas y lo volví a dejar.
        Total que para la segunda parte veía una línea de trabajo pero no me iba a poner con ella, sin hacer lo básico. Tampoco sé si concluiría en algo sustancial o no.
        Lo cierto es que retomando el caso, veo que algo que pensaba para la segunda parece que pudiera ser útil para la primera. Tampoco sé si al final será lo útil que se pretende.

        • Veo que no estás tan perdido como decías…
          No se qué es lo que le gustaría a Pardillano, pero espero que no sea muy exigente.
          Ese “comportamiento” de las ternas suena interesante. Yo ni siquiera tengo eso. Lo único que se me ha ocurrido para “demostrar” lo que pasa es contar todos los casos exhaustivamente (informáticamente), pero eso es tan triste que no quiero seguir por ahí.
          Me parece que voy a decepcionar a Pardillano. A ver si al menos le veo los tres pies a la pregunta adicional.

          • Ya verás como sí estoy despistado cuando veas la respuesta. He tenido que dar carpetazo al caso con una respuesta de deferencia porque no hay desafíos en cartera y tengo que trabajar alguna cosa todavía.
            La última parte se presta mucho a un análisis informático dirigido. No la veo excesivamente complicada, salvo que esté totamente equivocado.
            Lo de comportamiento, interprétalo de un modo genérico, algo que me imagino que habréis hecho también. No creo que tenga mucha importancia.
            Yo no sólo voy a defraudar a Pardillano sino a la audiencia y hasta a Hacienda si se tercia.

  8. Elegí una mala semana para poner un desafío.

    Y un mal desafío.

    Siento lo desatendido del mismo, especialmente por Rubenman que me ha enviado muchos correos.

    Primera parte: como varia la probabilidad de acertar P con los datos de 1, 2, 3 ó más formularios. Super la tenía clara desde el principio, aunque no se si habrá encontrado la demostración. Rubenman tenía claro el caso de 3 formularios, y ha dado muchas vueltas con el de 2, buscando los 101 pies al gato. Al final dice que se rinde, pero me ha mandado la respuesta correcta. Para lo que yo pretendía, le faltaría la demostración,

    Segunda parte (opcional): se excluyen las ternas P, C, D que proporcionen tablas de evaluación donde aparezcan los valores 1 u 0 para B. No tengo ni idea, no he podido pensar en ella. La intención de esta segunda parte era demostrar que a poco que se varíen las condiciones del problema, se desvirtúa lo que pasa en la primera parte. Luego pensando en ella sin pararme a escribir ni calcular nada, no estoy tan seguro de que eso pase. Pero es que de verdad que no he podido ponerme, por lo que no puedo ni daros pistas. Posiblemente como dice Rubenman sea más adecuada para un tratamiento informático. A ver si llego mañana a tiempo de enviar mi respuesta a esto, si doy con ello.

    • Discrepo de parte de lo anterior. El desafío es bueno. En mi caso lo que me ha ocurrido es que soy muy ignorante y me “creo todo”, de ahí que haya perdido el tiempo buscando recursos de todo tipo aunque interiormente pensase lo contrario.
      De haber entendido antes al desafiante me hubiera atrevido a profundizar algo más en la segunda parte porque creo que se puede y una de las líneas la comento en mi respuesta.
      He estado desorientado mucho tiempo por mi ingenuidad.

    • Bueno, no pasa nada. Mi semana tampoco ha sido muy buena. De hecho, no he avanzado nada sobre lo que te comenté en los primeros días. Sigo sin tener una demostración que no sea dar listados exhaustivos para el caso específico que nos ocupa. O en otras palabras, que no tengo nada (mío) que ofrecer. Lo que sí tengo es confianza en el sistema, y tanto es así, que sigo pensando que la parte opcional no modifica nada.
      Como parece claro que tanto tú como Rubenman habéis visto algún hilo del que tirar en la parte opcional (haya algo al final del hilo o no), tengo que pensar que mi despiste es absoluto. Yo no veo nada.
      Bueno, sí. Veo el despiste de Rubenman y envido 5 más. Qué leches, ¡órdago a despiste!

      • He hecho una prueba rápida y me falta un pequeño matiz. Haciendo dos filtros dirigidos, eliminamos para el caso de dos, 78 ternas; con lo cual mejoramos notablemente la probabilidad, sabiendo que ningún valor va a ser cero o uno.
        Ese pequeño matiz puede rascar ya muy poquito y ya me da pereza, porque casi me costaría menos, probar las 28 restantes una por una y ver si hay o no ceros posibles, pero vosotros que domináis la informática, claváis los filtros de golpe.
        Me he podido equivocar, pero no mucho, aparte de faltarme ese final.
        Para un formulario, ni me pongo pero ahí sí que creo que no mejoramos.

  9. A estas alturas del desastre, os paso el enunciado que debería haber puesto, no con intención de animaros a resolverlo, ni se os ocurra, sino para que veáis que aunque la he liado, el problema se podía plantear más fácilmente.

    Tres valores C, D, P son elegidos aleatoria e independientemente entre 0 y 100 incluidos.

    Una vez elegidos C, D y P, se calcula, para cada valor de A entre 1 y 100, un valor B con esta fórmula:
    B=(P+A*(C+D*A)) mod 101

    P1. Se pide demostrar si, sabiendo que para A=27 sale B=41, hay valores de P más probables que otros, o bien que todos son equiprobables con probabilidad=1/101.
    P2. Si ahora sabemos además que para A=92, sale B=13, se pide demostrar si es verdad o no que cualquier valor de P es todavía tan probable como cualquier otro, con probabilidad 1/101.
    P3. Si ahora sabemos que además para A=5 sale B=86, se pide lo mismo.
    P4. ¿Serviría de algo saber más pares A, B?

    Parte opcional:

    Los tres valores C, D y P son elegidos aleatoria e independientemente, pero se excluyen las ternas que provoquen que para algún valor de A entre 1 y 100, la fórmula para B proporcione el valor B=0 o el valor B=1. Solo serán válidas ternas C, D, P para las que eso no pase, y si al elegir aleatoriamente C, D y P no conforman una terna válida, se volverán a elegir aleatoriamente otros valores de C, D y P, hasta obtener una terna válida.

    P5. Se pide demostrar que sabiendo que para A=27 sale B=41, y que además las ternas son válidas, hay algunos valores de P más probables que otros. ¿Cual sería la probabilidad de uno de estos valores de P?

    P6. Si además sabemos que para A=92 sale B=13, ¿Cual sería la probabilidad de los valores más probables para P?

  10. Me rindo. Sigo sin ver lo que Pardillano y Rubenman han visto en la parte opcional, y eso que he hecho los volcados de dos formas diferentes.
    En mi opinión, las respuestas (equivocadas y por ello no importa que las cuelgue aquí) a esas preguntas adicionales son:
    P5: La probabilidad sigue siendo de 1/101.
    P6: La probabilidad sigue siendo de 1/101.
    Mañana me enteraré de qué es lo que no he entendido, que tiene que ser algo muy gordo.
    Espero que me perdonéis, pero no tengo otra cosa que los volcados para “demostrar” la primera parte. Y razonarla copiando los argumentos de la Wikipedia tampoco tendría sentido, así que tampoco voy a enviar nada para la primera parte.

    Me sabe un poco mal por Pardillano, pero le prometo que me he entretenido.

    • Aclaro por mi parte, para un formulario y eliminando ceros y unos, lograba filtrar una memez, pero por un pequeño error de interpretación del enunciado, es una simpleza que de ser o no ser cambia un pelín la cosa, no tiene más trascendencia que eso.
      Para el de dos formularios, estamos en parte opcional, hay coincidencia entre el método de Pardillano y el mío en números posibles.
      En esta parte, yo me he dedicado a filtrar los números que podemos descartar, hablar luego de probabilidades de cada uno, son palabras mayores. Ahí no me he metido.

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