Desafío 117

Superstición y probabilidad… con otras reglas.(Pardillano)

Casualidades de la vida, cuando estamos preparando la celebración de Navidad en casa de la abuela, El Pais y la RSME lanzan el Desafío Extraordinario de Navidad 2014:

http://elpais.com/elpais/2014/12/12/videos/1418387825_039584.html

Y resulta que la abuela tiene un problema muy parecido, aunque no idéntico.

Al igual que en el desafío de la RSME, la abuela tiene una caja con bolas blancas y rojas. Como es supersticiosa, estoy seguro de que no eran 13, pero tampoco más de 15. No recuerdo cual era la probabilidad de sacar dos bolas blancas nada más abrir la caja, pero tengo otros datos.

Cuando nos ponemos a decorar el árbol de la abuela sacamos las bolas de una en una, a ciegas, y las vamos colocando. Los años en que aparecen dos bolas blancas seguidas, los niños reciben ración extra de turrón. Los años en que terminamos de decorar el árbol y esto no ha sucedido, se quedan sin la ración extra.

La abuela lleva muchos años con la misma caja de bolas, y ya nos habíamos fijado en que tener ración extra de turrón era “aproximadamente” el doble de probable que quedarse sin ella. El año pasado nos molestamos en calcular la probabilidad con un ordenador, y la apuntamos sobre la caja. Hemos llamado a la abuela, que no puede bajar la caja del altillo del armario, pero que ha podido dictarnos la anotación:

Probabilidad de sacar dos bolas blancas seguidas = 61/91.

Pero eso lo apuntamos el año pasado cuando decoramos el árbol. Recuerdo que al finalizar las fiestas, cuando lo guardamos, se nos rompió una bola blanca. La tiramos a la basura, pero no nos molestamos en recalcular de nuevo la probabilidad con una bola blanca menos.

Este año, los niños, que no son tontos y tienen buena memoria, se han quejado. Dicen que con una bola blanca menos tienen menos probabilidad de recibir el turrón, y que tenemos que comprar otra. Pero son unas bolas muy antiguas con una decoración especial y no queremos que la nueva desentone. Hemos llamado a la tienda de artesanía donde las adquirió la abuela y nos han dicho que ya no fabrican las bolas blancas. Solo venden bolas rojas.

Yo les propongo cambiar de juego. Recibirán turrón si, al decorar el árbol sacando las bolas de una en una sin mirar, aparecen seis bolas rojas seguidas. Si terminamos de decorarlo y esto no sucede se quedan sin turrón.

Los niños acceden, siempre que les asegure que con el nuevo juego tendrán al menos la misma probabilidad de recibir turrón (61/91), para lo que habrá que comprar alguna bola roja adicional. Como iremos a la tienda antes que a casa de la abuela, no podemos ver el contenido de la caja y tenemos que apañarnos con los datos que tenemos.

¿Cuántas bolas rojas tenemos que comprar?

Se admiten soluciones basadas en un programa de ordenador, aunque no es preciso recurrir a ello. Pero una hoja de cálculo puede venir bien.

D117_imagenblogSoluciones hasta el lunes 29 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

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63 pensamientos en “Desafío 117

    • Lo del permiso para programar es solo para chincharte.

      Si hubiera prohibido la programación, tu, por llevar la contraria, habrías quemado tu pc calculando el caso con unos millones de bolas, el árbol habría quedado aplastado por el peso de las mismas, y para cuando hubieran acabado de sacar las bolas de la caja, los bisnietos de los niños se hubieran tomado el turrón rancio.

      Ahora permitiendo la programación, no le verás la gracia. Te empeñarás en sacarlo con lápiz y papel, y lo conseguirás, redactaras una solución sintética y precisa, y te quedarás picado porque la mía será más larga, ya que incluiré la aburrida lista de los cientos o miles modos de sacar las bolas, usando programación, por supuesto.

      • Touché!
        Un gran comentario. No todos los días ve uno “la mía será más larga” y “sacar las bolas” en la misma frase.
        En cuanto a mi solución, ojalá sea precisa, porque lo de sintética lo dudo mucho.
        Pero lo intentaré.

        ¿Cientos o miles? Qué gruesa subestimación, por Tutatis!

  1. Acabo de leerlo. Agradezco la posibilidad de enviar programa, pero eso no es lo mío.
    Me temo que tenga que recurrir al papel y lápiz, aunque lo de la hoja de cálculo me hace pensar que no sea tan simple.
    En fin, haremos lo que se pueda.

  2. Qué bien. Puedo estar tranquilo.
    Cuando se me ocurrió este desafío, me vi obligado a explorar su solución antes de proponerlo. Me quedé con la idea de que quizá fuera excesivamente complicado, por lo que lo avisé, e incluso sugerí el uso de una hoja de cálculo, porque sin ella mi solución es muy laboriosa.
    Ahora tres de vosotros me habéis sorprendido llegando rápidamente a la solución de la primera parte. Uno según dice con cálculos “así a lo bruto”, otro con una mezcla de intuición y un misterioso método de recuento, por desvelar, y el tercero con una fórmula “mágica” que da directamente la probabilidad en función del número de bolas de cada color. Digo “mágica” porque lo es para mí, que he podido comprobar que es correcta, pero que no llego a saber interpretar.
    Seguro que al menos a estos tres, terminarán pronto con la segunda parte . Uno parece que aún no se ha metido con ella, otro tiene ya buenas pistas, y el otro ya sabe cuántas bolas rojas comprar, aunque no me ha contado como ha llegado a esa conclusión.
    Ya no tengo dudas, mi solución será la más larga y aburrida.
    Ánimo al resto.

    • Unas palabras desde la brutez:
      Supongo que el de la intuición y el misterioso método de recuento será Rubenman, y el de la fórmula mágica será Sebas. ¿Me equivoco?
      Si no cambian las cosas, my solution’s gonna be highly disappointing.
      Aunque mediante trampas sé a dónde quiero llegar, voy muy despacito en mi intento por rehacer el camino de forma que no se note que he hecho trampas. De momento sólo estoy analizando las parejas de blancas. Ya pasaré a los sextetos de rojas si llega el caso.
      Yo también estoy buscando una fórmula mágica (¡también con trampas!) pero, como no sé contar, tengo dificultades. Mi primera fórmula mágica es bastante complicada, pero sólo vale para 4 bolas blancas y cualquier número de bolas rojas. Tendría que adaptarla (complicándola aún más) para otros números de blancas, pero este camino no tiene mucho sentido.
      Voy a repensar mi estrategia a ver si se me ocurre algo diferente y menos bruto, como por ejemplo (ya me gustaría) aprender a contar.

      • Ya me gustaría a mí saber hacer esas trampas porque en definitiva es lo que todos buscamos, anticiparnos a la respuesta para luego saber explicarla.
        Es cierto que en mi primer comentario a Pardillano ya la comenté una intuición, en realidad es un razonamiento lógico, y luego le di una serie de resultados, comentándole que los había sacado mediante un recuento que le resumí en una sóla palabra, pero que cabe generalizar. Evidentemente eso dicho así es un misterio para cualquiera.
        Sospecho que mi planteamiento es muy similar al de Sebas porque también se traduce en una fórmula que imagino que tendrá sus variantes, pero se puede hacer bastante sencilla. Inevitablemente para entenderla es imprescindible ese planteamiento previo.
        La segunda parte, la del sexteto, es fácil de responder si no nos queremos meter en el fango, aunque tiene un elemento complejo de abordar, el razonamiento de por qué tenemos una probabilidad determinada y no la que cabría “anticipar”.
        Esta es la parte que considero más complicada del caso. Aquí es donde viene muy bien saber hacer trampas, de ahí que haya perdido bastante tiempo para entender el por qué de un dato que no puede saber con certeza absoluta porque no sé hacer trampas, aunque creo que ya lo tengo pillado.

        • Se nota que no has visto mis trampas. Alguna que otra vez he hecho alguna trampa ingeniosa, pero éste no es el caso. Mérito cero, sin fango ni nada. Cosas como las que he hecho deberían estar prohibidas.
          A tí probablemente te vendrían bien en muchos casos, pero a mí los atajos no me suelen ayudar a llegar a los sitios, y éste es un ejemplo claro.
          Si me acabo quedando sólo con las trampas, me consideraré suspendido.

  3. Un inciso, hay respuesta del desafío del país, supongo que el agraciado no es un habitual nuestro, en cualquier caso enhorabuena.

    Yo también me fui por las ternas pitagóricas de enteros con catetos consecutivos. En una línea muy parecida a cómo traté el caso del desafio 23 (que no contesté en su momento porque me dio vergüenza dar una respuesta con trampas)

    http://elpais.com/elpais/2014/12/19/videos/1419003477_783444.html

  4. Más bien creo que distintas variantes conducen a la misma formula
    Con mi burro tirando del carro hemos podido trajinar las bolitas, a mi solito se me caían, …estaba asustado con programación y excel

  5. He conseguido un procedimiento general para contar los casos con lápiz y papel, así que creo que ya puedo resolver el Desafío de la misma manera (chapucera) pero sin trampas.
    No sé si estaré siguiendo las rodadas del carro de Sebas. Probablemente no, porque no veo las cagarrutas.
    Lo que no tengo aún es una fórmula que mecanice el procedimiento. Si no la encuentro, mi solución competirá en la categoría de longitud y aburrimiento.

  6. Necesitaría confirmar un sólo dato para X bolas, 3 blancas (sextetos) para saber si la fórmula que he encontrado es general, en cuanto a cualquier valor de X; de esta segunda parte.
    Aunque le he enviado la lista de valores al jefe, me imagino que estará ausente, asi que si algún tramposo (en el buen sentido que le damos en este blog) me confirma que hay un valor de “x” para el que la probabilidad de obtener un sexteto seguido es 15/17, podría decir ¡eureka¡, en caso contrario debería repasar el tema.

    • Si, te lo confirmo, pero no se lo digas a nadie
      Para el sexteto tengo hasta la probabilidad 1, de momento para este segundo apartado es una “aleación” de algún recuento y formula. De momento los intentos de eliminar todo lo de recuento no lo he podido solucionar por completo

      • Me imagino que vamos por caminos muy paralelos. Te confirmo también que se puede obtener una fórmula general, un poco más compleja que la primera parte, pero no excesivamente.
        Como “curiosidad”, esa fórmula también sería válida por ejemplo para 50 bolas totales, 3 blancas, probabilidad del sexteto.
        Creo que abre la puerta a cualquier otra valoración (número de bolas, número del grupeto seguido, bolas de un color, etc); pero ya me mareo.

          • Sí, te he dado esa cifra porque sé que te sorprendería. En realidad es un supuesto innecesario. Lo único es que creo que puede tener el interés de cara a una supergeneralización.
            Creo que en este punto me tengo que retirar ya, intuyo por dónde va la generalización absoluta pero necesitaría tener los datos complejos de varios supuestos para afinar y para eso necesitaría saber hacer trampas.

  7. Una pregunta a los que ya tenéis fórmulas.
    La solución perfecta pasaría por tener una fórmula general que valga para cualquier secuencia de n bolas seguidas de cualquier color, cualquier número de bolas blancas y cualquier número de bolas rojas.
    Algo sí:
    prob=f(secuencia,color,blancas,rojas)
    Se me antoja que ese objetivo va a ser muy difícil, si no imposible, así que me conformaría con una fórmula general para la pareja de blancas y otra para el sexteto.
    Digamos algo así:
    prob_bb=f(blancas,rojas)
    prob_rrrrrr=g(blancas,rojas)
    ¿Es eso lo que tenéis?

    • Te contesto, creo que sí existe una fórmula (secuencia,color, blancas, rojas). Para confirmártelo necesitaría volverme en Super/Pardillano, para hacer unas pocas comprobaciones. Tengo una clara sospecha pero tengo mis límites. Otra opción sería perder muchísimo tiempo.
      En cualquier caso sí existe una fórmula de sextetos, con 3 blancas para cualquier número de rojas.

      La fórmula (dos seguidas) sea cuales sean los valores es bastante asequible.

      • “Existe una fórmula de sextetos, con 3 blancas para cualquier número de rojas”.
        Yo pensaba que tenías la fórmula para cualquier número de blancas y de rojas, pero si fijas el número de las blancas es mucho más fácil.
        No entiendo lo de las dos seguidas.

        • El primer supuesto trata de “dos seguidas” para ello hay fórmula, independientemente del número de bolas blancas y rojas.

          En el caso de sextetos, aquí limitamos las blancas a 3, rojas puede ser cualquier número. Hay fórmula.

          Caso absoluto (X totales, Y blancas; grupetos seguidos de valor Z) Creo que también hay fórmula.

  8. Para “a” blancas, “b” rojas y “n” repetición de una de ellas, no tengo problema para el cálculo de la probabilidad, la “formula” es única simple y conocida, aplicada varias veces según los parámetros “a, b, n”. Para los casos favorables necesariamente tengo que hacer un recuento fácil, a mano, para posteriormente aplicar la “formula”. Para los casos posibles, una simple aplicación de la “formula”.
    He intentado deducir el “recuento” y de momento todos mis intentos han fracasado en más o menos aproximación
    Por otra parte he intentado hacer trampas introduciendo la serie de recuentos en oeis y he fracasado, esto me hace suponer que es bastante complejo prescindir del recuento

  9. Anímate Dospew ¿o ya vas animado?.
    Sebas, me despista un poco el comentario que has hecho. Si ya tienes una fórmula única para cualquier dato, no sé qué tiene que ver lo del recuento.

    Yo utilizaba el recuento para ajustar una formulilla inicial, hasta que he topado con otra fórmula, cuyos términos son válidos para el “sexteto”. Sospecho que con esa referencia y jugando con otros valores, se puede llegar a generalizar, pero es una suposición.

    Mi problema es que la fórmula que utilizo para la primera parte y esta de la segunda no se parecen mucho.

    De todas maneras he enviado esas referencias al jefe para que las valore no vaya a ser que haya metido la pata (cosa habitual).

    Por lo que comentas, me da que tú eres más directo, sólo que no pillo que haya que añadir un recuento a una fórmula, salvo que te pase lo que me ocurría a mí.

    • La “formula” que utilizo es una muy simple y conocida, que para el número de casos posibles de la probabilidad se aplica directamente, pero en el número de casos favorables sus parámetros no puedo introducirlos directamente a partir del numero de bolas, si no a partir de un recuento, fácil pero recuento, que no puedo calcular de momento con otra formula

      • OK, Te refieres por lo tanto al denominador. Es cierto, para ese dato no hay problema ninguno. Seguro que utilizamos lo mismo.
        Entonces deduzco que tienes identificada la identidad del numerador para “dos juntas” sea cual sea el valor de blancas y/rojas, sin necesidad de recuento alguno, pero no así con el sexteto ¿no?.
        De todas maneras alguno se estará asustando pero estos comentarios “extras”. No se necesitan para resolver el desafío.

        • La primera parte de dos consecutivas no ofrecen problema, la misma fórmula deducida por diversas rutas.
          El problema es el sexteto, si no hay recuento, el solapamiento me está amargando…

          • Creo (no aseguro) que para la segunda parte, la misma fórmula vale para 3 blancas, cualquier número de rojas y cualquier pu-teto.
            He hecho alguna prueba con tercetos, duetos y cuartetos y también serviría.
            Esto me da pie a pensar que para “n” blancas tiene que haber también fórmula.
            Pero con una trampa previa de analizar un par de grupetos de 4 bolas blancas, y otra par de 5 blancas, creo que se podría ver bastante bien.

            • Evidentemente utilizo la formula en el numerador de la segunda parte, pero no puedo aplicarla directamente, ha de ser acompañando a los recuentos.
              Para nada me sirve empezar por cuartetos o quintetos, los solapamientos me lo impiden pues no termino de liquidar los falsos casos, mientras que el recuento previo es válido para cualquier caso de blancas rojas y grupo consecutivo.
              Si deseas datos para la comprobación de los sextetos, en un momento los he calculados hasta el 1, igualmente puedo efectuarlo para cualquier otro caso

              • Esos también los tengo, únicamente pedí el 15/17 porque me confirmaba ya toda la serie, en abierto no quería nada más.
                De todos modos le he pasado al jefe la fórmula y el modo de adaptarla a cada caso para que pueda comprobarlo.
                En el caso de 3 bolas blancas, estoy casi convencido de que funciona para cualquier grupo. Para 4 bolas blancas he probado un par o tres de casos muy sencillos y también me daba.
                Creo que los solapamientos que comentas se pueden controlar. No es fácil esa parte para nada.
                De hecho creo que el desafiante sabía muy bien que nos iba a volver locos porque esa secuencia no la encontraremos en la oeis. Nos ha puesto un cebo.

  10. Vuelvo a creer. He jugado con algún valor conocido esta vez para tercetos seguidos, pero cambiando a 4 bolas blancas, y la fórmula también parece adaptarse perfectamente. Falta alguna comprobación más, pero creo que va por buen camino.

  11. Creo que vamos por caminos algo separados, y posiblemente para generalizar sea mejor tu sistema, pero a mí me da gran confianza y seguridad mi sistema, de momento lo dejo descansar en espera de que me surja otra ruta

  12. Puf, estoy abrumado.

    No he podido atender el desafío el fin de semana. Disculpad, en especial Rubenman, que me hacía preguntas que yo no respondía. Me fui el viernes con los deberes de entender la primera fórmula de Sebas y ya estáis buscando fórmulas generales. Tardaré un rato en ponerme al día con lo que hay escrito en el blog y lo que habéis ido enviando al buzón.

    Mientras, os agradezco que os hayáis ido respondiendo entre vosotros.

  13. Tranquilo jefe, tómate tu tiempo.
    Si puedo, esta tarde haré un borrador de respuesta intentando explicar el tema para que puedas ver mejor el planteamiento o mejor dicho cómo llego a ciertas deducciones. Me temo que los correos se limitan a pasar unos datos y fórmulas que son difícilmente comprensibles.
    Las pocas pruebas que hice (con valores fácilmente previsibles) coinciden plenamente, pero para estar seguro habría que hacer alguna comprobación más.
    Por ahora he analizado solamente algunos valores para 3 y 4 bolas, con varios tipos de “grupitos”; por lo tanto, no puedo asegurar mucho aunque vea claramente la tendencia.
    El caso es que la fórmula es válida incluso cuando utilizas un total superior al primero de probabilidad “1”, al menos con algunos que he probado; por eso hablé de su curiosidad al referirme a 50 bolas, hecho que me hace pensar que no vaya desencaminado, y tal vez sólo haga falta afinar alguna cuestión; salvo que fuera una cosa imposible, que a priori lo parece.
    En cuanto al camino de Sebas creo que es bastante parecido al mío. El término de “solapamiento” lo entiendo perfectamente, lo de “recuento” también. Se me hacen muy familiares.

  14. Pardillano, la excel creo que no va bien

    Para 4 blancas se obtiene:

    15 rojas 3225 sextetos/ 3876
    16 (rojas) 4305 sextetos/4845
    17 (rojas) ¿¿¿4600???/5985

    No puede ser que baje la probabilidad aumentando una bola roja más ¿no?

    Con mi fórmula obtendría 5565, si no me equivoco

    No sé si seré exagerado, pero lo otro no puede ser ¿¿???

  15. Ahora que ya acabé listas y recuentos intentaré hallar esas fórmulas de las que habláis. Lo mío ha sido artesanal, aunque con ceros y unos (para poder operar).
    Feliz Navidad !

  16. No sé si Sebas habrá identificado ya la fórmula. En estos casos me suelen entrar dudas, así que comentadlo porque siempre ven más cuatro ojos que dos.
    Se la envié a Pardillano pero el buen hombre está atareado y me pasó una excel, con macros, para que yo mismo comprobase. Tuve que pelear para poder extraer desarrollos algo superiores a 5000 combinaciones, que se quedan cortos en muchos casos, luego para computar bien esas ampliaciones y luego para variar el valor de los grupetos; cosas muy sencillas para algunos. Sobretodo analicé valores que podríamos considerar complicados y cuadraba.
    Las dudas son ínfimas pero sí que gustaría que alguno/s más viese lo mismo.
    Creo entenderla, que eso es otra cuestión. Había algún matiz que se me escapaba bastante pero más o menos ya empiezo a comprenderlo.
    Lo que comenta Dospew de ceros y unos me suena bien, no lo he empleado pero me da a pensar que abre otras puertas.

    • El caso de ceros y unos es algo semejante a lo que utilizo para mi estudio. La formula la tengo asegurada para b=3, r<24 y n=6. Esta fórmula es generalizable para cualquier b, r y n, pero al aumentar la parte entera de relación r/n incrementa la formula en "partes enteras de" y de momento lo dejo en la segunda "parte entera de", para continuar tendría que hacer algunos "recuentos" que si bien son fáciles, a estas alturas fácilmente me dejaría alguna combinación antes de llegar a generalizar a niveles superiores.
      Por otra parte mi burro me ha advierte que para mi colesterol es más perjudicial el contar bolitas que comer turrón

      • No sé qué me da que vamos por un camino “paralelo”, como dice Super, pero no idéntico.
        De todos modos irse por encima de 23 bolas totales, es un asunto menor porque casi no tiene sentido. Tal vez dejarlo cerrado de otro modo, nada más.
        En conclusión, también tienes la general.

  17. Rubenman: El excel tenía limitado a 5000 las filas sobre las que se sumaba. No pensé que fuera necesario más. No hay más que estirar las celdas para abajo y corregir las fórmulas en recuento. Se me olvidó advertirlo.

    • En efecto, al final me las arreglé, quería hacer varias pruebas con distintos valores para comprobación. También lo hice con grupos de otros tamaños, insertando unas “N” o quitándolas.

    • Yo lo habría resuelto igual que este. Igual de mal, quiero decir.
      ¿Has conseguido alguna fórmula general? Yo me he rendido. He tenido todo el día para mí y ha sido un día horrible.
      Me iba a esperar a que fuera mañana para que no pareciera una inocentada, pero prefiero acostarme pronto y olvidar.

      • No, las fórmulas son cosa de Rubenman y Sebas. Lo mío es mecánico: Un artilugio de cribado. Si caes es la idea es fácil. Me he puesto del lado oscuro…, cuento otra cosa.

          • Posiblemente el recuento o fórmula estén relacionados con el modo de plantear el caso.
            Creo que es impensable buscar una fórmula general digamos sencillita. La que yo manejo casi no me parece tan fea, será por haberla mirado tantas veces.
            Sí que tengo el presentimiento de que no puede ir muy desencaminada con lo que pudiera ser una solución oficial porque me parece bien estructurada pero eso no deja de ser una opinión personal.
            Aunque tampoco creo que puedan diferenciarse mucho las fórmulas que aquí propongamos.
            La parte más compleja es la que se corresponde con lo que Sebas llamaba “partes enteras”

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