Desafío 114

El príncipe (Rubenman)

La FIDE (Federación Internacional de Ajedrez) está valorando la propuesta que les he remitido por mediación del joven Nicolás en cuanto a modificar las reglas del ajedrez, concretamente les he sugerido incorporar una nueva pieza a la que he denominado “Príncipe”.

El movimiento del Príncipe, y por lo tanto las casillas amenazadas, se ordenaría en tres posibles direcciones: fila, columna y una sola diagonal “condicionada”.

Si bien las dos primeras no ofrecen dudas, serían las propias de la torre, la diagonal condicionada merece una explicación más detallada.

A continuación mostramos unos ejemplos en un tablero de 6*6 en el que tendríamos seis posibles diagonales condicionadas, paralelas entre sí, la tradicional de cruces amarillas y otras cinco interrumpidas; sirva como ejemplo de estas últimas la que representamos con cruces de color verde. A la derecha hemos colocado un príncipe en una celda (punto verde) y en rojo hemos marcado todas las casillas que amenaza.1Mientras se resuelve esa petición me he entretenido en desarrollar un juego que consiste en colocar el mayor número de príncipes de manera que no se amenacen recíprocamente, teniendo en cuenta que en una casilla sólo es posible ubicar un elemento.

¿Eres capaz de situar en un tablero de 8*8, 8 príncipes?, ¿y si el tablero fuera de 14*14, hacer lo propio con 14 piezas?. En caso afirmativo nos mostrarás una distribución cualquiera y si no fuera posible deberás demostrar que, sea cual fuere la ubicación de las fichas, no es posible llevar a cabo la tarea.

Soluciones hasta el lunes 17 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

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45 pensamientos en “Desafío 114

  1. Aunque hay una literatura prolífica sobre el análisis de las piezas tradicionales del ajedrez, he pretendido ser original con la intención de anular cualquier posibilidad de búsqueda.
    A priori considero que entender lo que denominamos diagonal condicionada (interrumpida en todos casos menos uno) puede ser lo más problemático, si después de la explicación nos quedan dudas, no tengáis reparos en hacerlas llegar.
    Por mi parte me es difícil pronosticar cómo se va a desarrollar la partida y no tengo ideas para que ésta se pueda prolongar un poco más, aunque vosotros seguro que encontráis algo para no aburriros.
    Espero un completo.

  2. El primer comentario apunta a que se ha entendido bien el enunciado. Eso es lo principal.
    No obstante si hay dudas, comentadlo. No me gustaría que nadie se descuelgue por ese motivo.

      • UY, lo de derecha o izquierda me confunde. A ver si lo digo de otro modo, He comentado que las diagonales condicionadas son paralelas entre sí, dicho de otro modo, las líneas que formen han de ir siempre de forma paralela a esa diagonal que he pintado de amarillo.
        He puesto otra diagonal (doble o partida como quieres llamar) con cruces verdes. Si nos fijamos todas esas líneas son paralelas.
        Yo diría también que son “descendentes” tal como se ve el tablero en el dibujo.
        Siempre respetan esa forma.
        Sólo actúa en una diagonal (no como la reina tradicional), por contra es como si saliese del tablero y entrase por la zona del empalme de otro tablero contiguo.
        Si no queda claro, inistid.

          • El punto verde, obliga a que la diagonal deba pasar por ahí, es decir nazca en la primera columna en la celda (tercera o cuarta) según desde donde se mire, “descienda” hasta el lado inferior, y vuelva a resurgir por “arriba” en la siguiente columna que dejó “abajo”.
            Sólo son posibles diagonales en ese sentido. Digamos que a estos efectos no importa qué color tenga la ficha, imaginemos que tanto las blancas como las negras han de hacer lo mismo.
            Nos olvidamos por completo del otro sentido, el que formaría una cruz, con el anterior.
            Pensemos que en un tablero de esas características, sólo cabe pensar en 6 diagonales, una de ellas es la amarilla; las otras cinco van a tener dos partes, paralelas.
            El dibujo de la derecha nos muestra que un príncipe controla su fila, su columna y esa diagonal concreta.

  3. No sé si el caso es más difícil de lo que yo pensaba o no se ha entendido bien. Voy a hacer algún comentario.
    El supuesto me lo planteo de una forma casual, le empiezo a ver muchas cosas pero no termino de cerrarlo a mi gusto, hasta que doy con una idea que ya me satisface, pero no sé si hay otras vías que también pueden hacerlo.
    A mí me costó lo suyo dar con esa propuesta pero tampoco sabía si era porque a veces estoy más lelo de lo habitual o porque el caso se las trae.
    No suelo ser exigente a la hora de pedir una “demostración”, pero aquí creí que hay que hacer algo más que un simple razonamiento; en cualquier caso os invito a que aportéis ideas porque hasta puede que sean mejores que la mía.
    Volviendo al caso, a estas alturas sospecharéis que no se pueden hacer ni uno ni otro, os lo confirmo NO se pueden hacer. Lo de elegir dos números pares es una forma de hacer ver que la respuesta se puede generalizar, no vaya a ser que encontremos un modo que valga para el 8 y no se cumpla para el 14.
    Por otra parte también os confirmo que para un tablero impar se puede hacer siempre y además de varias maneras.
    Creo que esto último es lo que complica un poco la cosa porque ese razonamiento que demos para el par, debe ser compatible con el hecho de que el impar cumple y además hay varias soluciones.
    Por esta razón incorporé en el enunciado la petición de demostrar sea cual fuere la distribución de las fichas.
    Vamos a admitir que el supuesto no sea tan sencillo, lo que sí os prometo es que la respuesta que yo manejo sí lo es; de otro modo no se me hubiera pasado por la cabeza plantearlo. Insisto, la solución es muy sencilla.
    El hecho de que no deis pronto me ha consolado porque os reitero que a mí me costó, pero en los desafíos originales te puedes esperar que lleguéis vosotros y en un par de minutos lo resolváis.
    Por otra parte al hablar de “demostrar” no os lo toméis en un sentido matemático, entendedlo como un argumento claro y contundente; de todos modos si consideráis oportuno, podemos suavizar el tema y quedarnos simplemente con razonar porqué no aparenta viable..

    • No nos revelas nada que no supiéramos ya, pero gracias.
      Te comento que a mí, que todavía no tengo ninguna explicación, tu elección de dos pares me ha despistado bastante, haciéndome creer que el 14 podría tener algo especial que permitiera la solución.

      • Se me había pasado este comentario. Más abajo ya he referido que se puede encontrar algún tipo de respuesta que pueda ser válida para uno de ellos y para el otro no. Voy a ser más claro, sí que encontré una que me valía para uno de ellos, pero no era general.
        Es cierto que los dos números están elegidos a conciencia por varias razones que, en efecto, pueden despistar o todo lo contrario.
        Suelo reconocer cuando meto una trampilla. Vale, según como se mire podría ser; pero en este caso quise conjugar varias cosas, no para despistar sino para ver que se puede generalizar, y que la respuesta por lo tanto debe servir para todo “tipo” de pares.

    • No te pillo muy bien la pregunta. Te refieres a saber cuántos podemos meter en un tablero par. No me he puesto a “demostrarlo” pero te aseguro que para N= 8 se pueden meter 7, y para N= 14 se pueden meter 13; es decir uno menos siempre. Creo que lo podría razonar bastante bien.
      En los tableros impares siempre se puede meter “n” príncipes.
      Si no te he contestado a tu pregunta, concrétame algo más.

      • Colocación estrategica que ya amenaza toda una fila, columna o disgonal, impidiendo el objetivo del desafio. Es para sondear si mi solución era la tuya. Nada más. Con 4 lo consigo

    • Yo diría que, como el número de príncipes depende del tamaño del tablero, el mínimo número de ellos que no se puede colocar será 2, en el tablero de 2×2.

        • Ok, ya veo el sentido.
          En efecto, para 2*2 se ve claramente que no es posible. El 4*4 tampoco requiere muchas comprobaciones para verlo.
          Los pares incumplen todos.
          No sé si alguno le había picado la curiosidad de verlo en ordenador. De todas formas creo que la sospecha es inevitable.

          • La respuesta que manejo la tengo generalizada para cualquier n= par; de manera que prueba que es imposible y además admite que para n=impar, sí que pueda ser viable.
            Me imagino que otras respuestas que prueben que para 8 y 14, no se puede, se podrán también generalizar.
            Otra cosa, lo de 8 y 14 no fue elegido al azar, porque podría haber alguna respuesta que valiese para uno y para el otro no sirviera.

  4. Abro este comentario por si hay alguna duda, ante lo que comentaba Dospew.
    Debemos pensar que no hace falta ninguna estrategia para colocar “n” príncipes en un tablero par, porque no es posible. Por lo tanto en el desafío debemos probar eso mismo, pensando que ningún tablero par lo cumplirá. Da igual que pongamos las fichas de cualquier modo.
    Otra cosa distinta sería si hablásemos de completar un tablero impar, aquí sí que se puede hablar de estrategia para colocarlos, pero me imagino que ya os habréis dado cuenta de eso.
    Dospew, si algo no te queda claro, mándame un correo a soluciones e intento sacar alguna duda.

  5. Ya tengo una respuesta, es diferente a la mía. Es sencilla también, encaja en considerar que los impares pueden hacerlo, además de varias formas, se puede entender general para cualquier par y personalmente no le veo peros.
    Utiliza la lógica, la mía es algo más matemática pero eso tampoco quiere decir mucho.
    Y pensaba que no lo había entendido….

  6. En cuanto uno se descuida, se sorprende al ver como proliferan los comentarios. No voy a leerlos porque me da la impresión de que hay pistas.

    Por si alguien quiere jugar, hemos colgado un programa para este desafío en esta dirección:

    http://scratch.mit.edu/projects/33655256/

    No hace falta instalarse nada, se juega on line. Muy sencillo: clic para poner o quitar príncipes. Iremos mejorándolo.

  7. A ver, que no es tan difícil. La única respuesta que dispongo en estos momentos es bastante sencilla, yo diría que más que la mía. Mi escote particular me llevó por otros sitios.
    Hay otro pitagórico que también me ha avanzado sus líneas, no sé cómo lo terminará; pero de los demás no tengo nada.
    Me imagino que alguno esperará a última hora, no hay problema.
    No sé dar ninguna pista, al principio pensé sólo en mi vía y si fuera la única forma sí que os intentaría conducir, pero creo que no resulta complicado tratarlo de otras maneras.
    Con el programilla de Pardillano, se ve también claro. Me imagino que preparará alguna propuesta espectacular, sospcho que la tiene y espera hasta el final.

  8. Yo voy a darme un poco de tiempo antes de ver si el Scratch me ilumina. A la versión anterior se le podía cambiar ya el tamaño sin problemas (al menos hacia abajo) y la verdad es que no me iluminó. De momento voy tirando de papel y de un tablero de ajedrez con unas fichas de damas, pero prefiero el papel.
    He probado a dibujar grafos equivalentes, coloreados y no, y la perdiz no ha saltado.
    Es lo malo de buscar perdices en un garaje. Está todo lleno de pulpos y cabras y no hay manera de encontrar nada.

  9. Agradezo a Pardillano su enlace por doble motivo, por lo bien que está y porque esconde la pista de mi propuesta de solución.
    Por ahora el noruego y el hindú, van 2.5-2.5.
    Esta última partida me ha desorientado un poco.

  10. Parece que estoy peor que el indio. Una vez agotadas las ideas, me he entretenido (inútilmente) en generar por curiosidad todas las soluciones para algunos casos impares. Estos son los irrelevantes resultados:

    Tablero 1×1: 1 solución.
    Tablero 3×3: 3 soluciones. 2 de ellas distintas.
    Tablero 5×5: 15 soluciones. 5 de ellas distintas.
    Tablero 7×7: 133 soluciones. 36 de ellas distintas.
    Tablero 9×9: 2025 soluciones. 532 de ellas distintas.
    Tablero 11×11: 37851 soluciones. 9537 de ellas distintas.

    No he tenido paciencia para acabar el caso de 13×13.
    Para comprobar si lo estaba haciendo bien, he adaptado el programa a Damas normales y he resuelto algunos tableros pares con la idea de comparar los resultados con alguna lista correcta de la OEIS (ya que el problema de las n Damas es conocido). Los resultados coinciden, así que creo que los datos de arriba deberían ser correctos.
    También he visto que en la Wikipedia hay una página dedicada al problema de las Damas, que da más datos que la OEIS porque además del número de soluciones, incluye el número de soluciones distintas (después de eliminar las soluciones equivalentes por rotaciones o simetrías). Estos valores de soluciones distintas también coinciden con los que calculo yo, y eso me he permitido detectar y corregir un fallo en el texto de la Wiki. Al menos ahora puedo decir que mi trabajo ha servido para algo.

    Resumiendo, que me he dado por vencido y he acabado mirando el Scratch.
    3 cosas:
    1-Buen trabajo, Pardillano.
    2-No me parece bien usar lo que revela el Scratch.
    3-Lo siento, Rubenman, no vas a conseguir el completo.

    • ¿Te parece poco útil lo que nos dices? A mi me parece muy interesante.
      Creo que ya intuyes cuál es mi propuesta. Me imagino que tendrías ideas muy buenas pero eres exigente y tal vez no te terminen de convencer.
      Como ya he comentado a algún compañero, lo que se busca es la participación y el entretenimiento; y constatato que has participado a un buen nivel y eso hace pensar que también te has entretenido.

      • Bueno, no es que sea muy útil para resolver el Desafío, ¿verdad?, aunque acepto que pueda considerarse interesante, o al menos curioso.
        Supongo que la utilidad real es que ahora la Wikipedia tiene un fallo menos. En cuanto a mí, me ha servido de algo más que de entretenimiento, ya que además he aprendido alguna cosilla por el camino. Cosilla que olvidaré rápidamente, pero eso es otra historia. Mañana seguro que aprendo algo más.

  11. Como veo un poco vaguete a Super, voy a complementar su trabajo con el resto de soluciones para tableros impares hasta N=25:
    Tablero 1×1: 1 soluciones
    Tablero 3×3: 3 soluciones
    Tablero 5×5: 15 soluciones
    Tablero 7×7: 133 soluciones
    Tablero 9×9: 2025 soluciones
    Tablero 11×11: 37851 soluciones
    Tablero 13×13: 1030367 soluciones
    Tablero 15×15: 36362925 soluciones
    Tablero 17×17: 1606008513 soluciones
    Tablero 19×19: 87656896891 soluciones
    Tablero 21×21: 5778121715415 soluciones
    Tablero 23×23: 452794797220965 soluciones
    Tablero 25×25: 41609568918940625 soluciones

    • Muy bien. La de los tableros 3 y 5, las tenía controladas, a partir de ahí alguna estrategia para generar, pero nada más.
      La sucesión que sale, parece que ya estaba registrada en la OEIS aunque para otras finalidades.

      • Caramba. No se me ocurrió que la nueva sucesión pudiera estar en la OEIS. Me alegra ver que mis resultados coinciden. Qué sinvergüenzas, han copiado totalmente la lista de Pardillano…

        Bromas aparte, veo que una de las “finalidades” de la secuencia se llama “Non-attacking chess pieces”, así que al final el problema no era del todo nuevo. Por lo visto un tal Vaclav Kotesovec tiene publicado un libro con problemas de fichas que no se atacan en tableros arbitrarios, incluyendo fichas inventadas y formas rectangulares, toroidales, etc. Es de descarga libre, y es una pasada (aunque esta escrito en checo, las tablas y las fórmulas son espectaculares, y tienen encabezamientos en inglés).
        En el libro del sr. Kotesovec, nuestro Desafío aparece como “n semi-Queens on an n x n toroidal board (for 2n+1= A006717). Qué pequeño es el mundo.

        En fin, la secuencia de las soluciones DIFERENTES no está en la OEIS ni en el libro ése (ni en ninguna otra parte que haya podido encontrar) así que supongo que el mundo no es tan pequeño después de todo. O que mi lista está mal, que es lo más probable.

  12. Super, tienes razón, leí el principio y más abajo pone algo.
    Por curiosidad he ido al enlace, y en efecto en la página 735 del pdf está el desarrollo. Lo que ya no sé es si son exactamente las mimas piezas porque me da la impresión de que pudiera tratarse de la reina tradicional en una sóla diagonal sin el añadido de la reincorporación.
    Veo que también está limitada al 25*25, debe ser que los ordenadores se cansan a partir de ahí.

    • La Semi-Reina es equivalente a tu Príncipe, aunque la definen simplemente como si fuera una Torre más un Semi-Alfil (es decir, un Alfil que ataca por una sóla diagonal, que casualmente es la contraria a la que has elegido tú, lo que no cambia las cuentas).
      Lo que hace que los problemas sean efectivamente equivalentes es el uso del tablero toroidal. Como ya sabes, en este tablero se considera que los lados superior e inferior están unidos, y lo mismo los lados izquierdo y derecho, de modo que las diagonales no principales continuan “por el otro lado” y acaban cerrando un círculo. Obviamente, es lo mismo que haces tú con otras palabras.
      No hay ninguna diferencia.

      Y sí, los ordenadores se cansan enseguida. De hecho, en el problema original con Damas normales, han llegado sólo hasta el 26×26, y el valor del 24*24 no está del todo claro. Hay quien opina que es otro.

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