Desafío 104

El anfiteatro romano (Rubenman)

Nuestros lectores pueden dar respuesta a la opción que deseen.

Opción A

El cónsul romano ha ordenado construir un anfiteatro en las afueras de la ciudad y para ello es necesario delimitar primero en el terreno dos círculos concéntricos. Considerando que el radio menor ha de ser al menos un 60 % del mayor, se pueden muy bien calcular esas distancias “a pasos”, dado ese amplio margen. La parte interior se corresponderá con la arena que quedará rodeada por el graderío. Por otro lado se pretende construir un escenario que seccione esas circunferencias, de manera que esa “cuerda” quede subdividida en tres partes con las razones I-III-I.

La primera parte del desafío consiste por lo tanto en habilitar un sistema que nos permita trazar los límites de ese complejo.

Una vez que ya está todo dibujado, el emperador monta en cólera y obliga a cambiar las proporciones del escenario a I-II-I.

En esta segunda parte trataremos de dar una solución a este nuevo supuesto.

Opción B.

Imaginemos que alguien hubiera previsto inicialmente ese cambio de ideas. ¿Puedes diseñar un modelo para el caso I-III-I que nos pueda servir también para la distribución I-II-I, minimizando el número de nuevos trazos necesarios para completar la nueva distribución?.

Ahora imaginemos que partimos de cero y se trata de resolver únicamente el supuesto I-II-I, ¿Se te ocurre un proceso que culmine esta distribución en el menor número de trazos posible?

1Nota: debemos recordar que no tenemos equipos de medición y no disponemos de otras herramientas que cuerdas y regles lo suficientemente largos para realizar la tarea.

Soluciones hasta el lunes 30 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

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Soluciones Desafío 103

Pardillano dice:

Como algunos habéis observado (SPZ, Rubenman, Suschus), detrás de este desafío se ocultan las Torres de Hanoi. El título pretendía ser una pista, aunque a alguno que desconocía que Hanoi es la capital de Vietnam no le sirvió como tal.

Otros (Dospew, Sebas, Tarzán) habéis resuelto el desafío sin conocer o relacionarlo con las Torres de Hanoi. Enhorabuena porque es difícil darse cuenta de la mecánica de resolución del Artipalo sin esa referencia. Esta relación está explicada en alguna solución, y también podéis verla en mi Geo.

El desafío se trataba de encontrar la solución en 31 movimientos, pero algunos habéis respondiendo además acertadamente a las cuestiones adicionales planteadas (todas las configuraciones accesibles en 2^N-1 movimientos, y el método general de resolución). Creo justo indicar que Suschus me lo señaló por email, aunque esto no figure en su solución.

Además, hay valiosas aportaciones profundizando en el tema que no se pedían. Rubenman ilustra los pasos intermedios y calcula las coordenadas finales posibles de P para nivel 5, calculando de un modo alternativo mediante combinaciones el número de configuraciones posibles. Tarzán detalla la orientación de todos los vectores tras cada movimiento. Dospew incluye una imagen muy ilustrativa del método general “Artipalo de 3 = 2 Artipalos de 2 + 1 giro”.

Y el trabajo de SPZ, que me ha sorprendido muy gratamente, sensacional. Detrás de este desafío de apariencia más lúdica que matemática, ha sido capaz de ver Grafos y Fractales, de los que la imagen de esta entrada es un ejemplo.

 Imagen_blog_Grafo_Fractal_SPZ

Una última curiosidad de las Torres de Hanoi que justifica el reto que lancé en el blog: su resolución es el ejemplo preferido para explicar en los cursos de programación las bondades de la recursividad (definir un algoritmo en función de si mismo). Se trata de repetir en el ordenador el mismo proceso mental que hacemos nosotros: para una torre de 5 bloques, movemos los 4 de encima, cambiamos el de abajo, y volvemos a subir a él los 4 pequeños. Este proceso resulta complejo de programar sin recursividad, pero se puede implementar sencillamente en un lenguaje de programación que permita esta técnica. El Geo que adjunto la utiliza.

El jueves nuevo Desafío de Rubenman

D103_Dospew

D103_Rubenman

D103_SebasSebas

D103_SPZ

D103_suschus

D103_Tarzan

D103_ArtipaloVietnamita

Desafío 103

El Artipalo Vietnamita (Pardillano)

El Artipalo Vietnamita es un juego de ingenio formado por 5 vectores concatenados en un espacio tridimensional, a modo de palo articulado. Cada uno de los vectores, todos de longitud 1, tiene que ser paralelo a una de los ejes X, Y, Z, y orientado en el sentido positivo. De este modo, si el primer vector parte del origen, el extremo del quinto vector estará en un punto P cuyas tres coordenadas suman cinco.

Puesto que cada uno de los 5 vectores puede estár orientado según una de las tres dimensiones, tendremos 3^5=243 configuraciones posibles, como por ejemplo la de la figura, con los vectores (en verde y rojo) numerados del 1 para el más cercano al origen al 5 que finaliza en P en coordenadas (1,3,1).

 D103_Imagen_blogEl juego consiste en pasar de una configuración inicial donde los 5 vectores son paralelos al eje X, y el punto P en coordenadas (5,0,0), a otra final donde los 5 vectores sean paralelos al eje Y, alcanzando el punto (0,5,0).

Para pasar de una configuración a otra, se efecuarán una serie de pasos, en cada uno de los cuales se cambia la orientación de uno de los vectores y se mantiene la del resto. Sin embargo, no se puede cambiar libremente la orientación de un vector, y hay que respetar forzosamente esta regla:

  • Un vector paralelo a un eje se podrá reorientar en la dirección de otro eje solo si no existe ningún vector posterior (es decir, más cercano al punto P) en ninguna de esas dos direcciones.

 Por ejemplo, en la figura solo hay dos vectores, los pintados en verde, que se puedan reorientar:

  • El vector 3, paralelo al eje Z, se puede reorientar en la dirección del eje X, porque no hay ningún vector posterior (ni el 4, ni el 5) orientados en la dirección X ni en la Z. La flechita azul en la punta del vector 3 indica esa posibilidad.
  • El vector 5, paralelo al eje Y, se puede reorientar en cualquiera de las otras dos direcciones, ya que no hay ningún vector posterior. Esto es lo que indican las dos flechitas azules en su punta.

Sin embargo, no está permitido modificar la orientación de los vectores en rojo:

  • El vector 1 y el 4 están orientados en la dirección Y, y puesto que hay algún vector posterior (el 5) es esa misma dirección, no está permitido reorientarlos.
  • El vector 2 está orientado en la dirección X, y no hay ningún vector posterior en esa dirección. Sin embargo, no puede reorientarse a Y porque los vectores posteriores 4 y 5 están en dirección Y. Tampoco puede reorientarse a Z porque el vector 3 tiene esa orientación.

El desafío consiste en solucionar el juego, es decir, partiendo de todos los vectores paralelos al eje X, llegar a una situación final con todos paralelos al eje Y. De entre los que lo consigan, ganará el que lo consiga en el menor número de pasos.

Para ayudar tenéis el geo adjunto, que incluye un contador de movimientos y unas instrucciones. Aunque no es imprescindible usarlo para solucionar el desafío, os animo a que juguéis con él como diversión. Un pantallazo del mismo donde se vea el marcador valdrá como comprobante de que lo habéis conseguido. Podéis modificar el nivel para probar con artipalos de otra longitud diferente de 5.

Y si alguien se queda con ganas, puede pensar estas cuestiones:

  • ¿Son las 243 posiciones posibles del artipalo vietnamita de 5 vectores alcanzables desde cualquier posición de partida respetando la regla que restringe los movimientos?
  • ¿Cual sería un procedimiento general para solucionar un artipalo vietnamita de N vectores?. ¿Cual sería el mínimo número de movimientos requeridos?

Por último, quiero avisar a los 3Dfobos que este problema se puede transformar y atacar sin recurrir a representaciones geométricas, y de hecho, es equivalente a otro problema más simple y conocido.

El Artipalo Vietnamita

Soluciones hasta el lunes 16 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 102

Superpanzeta dice:

La verdad es que no se puede decir que el Desafío haya funcionado a la perfección. Eso sí, los que habéis participado, lo habéis hecho muy bien. Demasiado bien, diría yo.
Habéis sido tan rápidos que para el primer fin de semana ya se había desinflado el globo y ya no podíamos jugar con él.
Estuve considerando la posibilidad de proponeros acabarlo el Lunes pasado (a la vieja usanza), pero no me pareció justo para los posibles rezagados ni para el siguiente Desafiante, así que lo dejé correr.
No era un problema especialmente difícil de encontrar en la red. El simple hecho de probar con secuencias más cortas y buscar los resultados parciales en la OEIS nos llevaba a encontrar el camino, pero creo que nadie ha tomado el atajo. Sé que Rubenman encontró el hilo de Ariadna buscando por ahí (esencialmente el artículo del que extraigo la solución), pero fue después de darme su solución. Enhorabuena a los cuatro acertantes (al menos cuatro en el momento de escribir esto).
Supongo que los que no habéis participado lo habréis encontrado aburrido. Mea culpa. Considero que el problema es realmente interesante, así que asumo la culpa de no motivaros. Quería probar a poner alguno facilillo (más o menos) a ver qué efecto producía sobre la audiencia. ¿El resultado? De haberlo, el efecto ha sido pequeño. No muy lejos de la línea de los últimos Desafíos, lo que me hace pensar que no toda la culpa es mía. Digamos que el 90%…
En el lado positivo, que al haber resultado fácil, hemos tenido mucho tiempo libre. En mi caso, siento deciros que por circunstancias que no vienen al caso no he podido dedicar el tiempo a preparar nuevos desafíos, pero me consta que otros sí lo habéis hecho. Y yo al menos he podido dedicar el tiempo a otra cosa que tenía pendiente y que tenía que sacar adelante tarde o temprano, así que estoy razonablemente satisfecho.
Respecto a las soluciones recibidas, destacar la rapidez y claridad de ideas de Rubenman y la profundidad de Pardillano. Su solución es una maravilla, y es un ejemplo perfecto de lo que yo mismo debería haber intentado presentar en vez de el corta y pega de última hora que he preparado. Sebas y Suschús no nos cuentan los detalles de cómo llegaron a la solución, y en el caso de este último, sólo tengo el correo con la secuencia correcta (la misma que los demás), así que no tendréis su solución descargable, pero os prometo que es correcta.
Y nada más. ¡Hasta la próxima, que seguro que será mejor!
Paquito SPZ.

relleno_solucionEl jueves Pardillano vuelve a Desafiarnos

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D102_Rubenman

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