Desafío 100

Torneos escolares (Pardillano)

Cada vez que se celebra un torneo deportivo, surge la ocasión de preguntarnos si el formato elegido es o no justo. Y como muestra, las competiciones de fútbol de esta temporada. En la Champions, el PSG tras una brillante actuación en todos los partidos previos, es eliminado por el mediocre Chelsea en el último minuto del partido de cuartos. En la Liga española, si acaba ganando el Real Madrid, lo hará a pesar de haber conseguido solo un empate y perdido los otros tres partidos contra sus rivales directos por el título (Barcelona y At. de Madrid).

¿Qué es lo justo?. Evidentemente, dado que las normas del torneo están fijadas con antelación y son aceptadas por todos, cualquier resultado es justo por definición. Pero de lo que se trata es de si el torneo es adecuado en el sentido de favorecer lo que proclamamos todos al principio: que gane el mejor.

En los ejemplos anteriores se muestran dos aspectos diferentes (y parcialmente contradictorios) que contribuyen a esa sensación de “injusticia”. En el caso de un torneo tipo eliminatoria, como la Champions en sus fases finales, parece que puede haber una dependencia excesiva del azar. En el ejemplo de la Liga, el problema es otro muy diferente: uno puede ser campeón sin ser capaz de vencer a sus rivales directos.

Pues bien, sobre este último aspecto es sobre el que trata este desafío. ¿Podemos inventar sistemas de competición donde ganar a otro equipo te asegure quedar por encima de él?. El planteamiento del desafío lo tenéis en el archivo adjunto. No os asustéis por su extensión, es sobre todo porque intento dejar todo claro.

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Soluciones hasta el lunes 5 de mayo a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

 

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Soluciones Desafío 99

Rubenman dice:

“A pesar de que estas fechas son poco propicias estoy satisfecho del curso del desafío. Es cierto que tenía muchas dudas antes de presentarlo porque pensaba que sería un caso conocido, de haberlo sabido hubiera planteado el supuesto de Jaimito y sus caramelos.

Con más o menos esfuerzo se puede seguir la línea del escote hasta llegar incluso a justificar que cualquier cifra nos valdría, como habéis expuesto en vuestras respuestas.

Considerando el problema de los dulces y jugando con las cifras que nos facilitan se puede llegar a la siguiente igualdad (31+31) = (47+14) + 1, que es en definitiva la base de la propuesta que os traigo y el hecho que justifica la elección de una cifra concreta.”

2El proximo jueves Pardillano nos desafía

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Desafío 99

El profesor de matemáticas (Rubenman)

Los resultados del último examen de matemáticas han sido catastróficos. La nota media de los 100 alumnos ha sido exactamente 1,21, siendo la mayor puntuación un 4, nadie ha aprobado. Todos los niños han obtenido un valor entero y 22 de ellos han sido calificados con un cero.

Los niños se colocan en un círculo y el profesor, analizando la situación, se da cuenta de que independientemente de cómo se sitúen, siempre habrá un grupo de niños consecutivos cuya suma asciende a 37. Se le ocurre proponerles una nueva prueba que va a consistir en demostrar ese hecho.

¿Puedes ayuda a los alumnos a superar la recuperación?

examen_finalSoluciones hasta el lunes 21 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 98

Superpanzeta dice:

Ante mi incapacidad para elaborar un ataque teórico, me tomé el desafío como un juego. Más o menos lo que le ha pasado a todo el mundo. Tenía la secreta esperanza de que alguno de vosotros encontrara algún sistema teórico, pero de no ser así, pensé que el juego también iba a servir de competición, y por tanto, entretenimiento.

Así ha terminado siendo, un intrigante rompecabezas que, aunque no ha resultado tan difícil como yo preveía, ha dado cierto juego y nos ha mantenido entretenidos unos días. O al menos, eso quiero creer.

Como ya sabéis, el problema no es original y debido a ello, la solución está disponible en la red. De hecho, allí encontré 2 de las 768 posibles: una se puede ver en http://mathworld.wolfram.com/18-PointProblem.html , y la otra en http://en.wikipedia.org/wiki/Irregularity_of_distributions , cuya florida imagen podéis ver aquí mismo.

Como indican los enlaces, el problema no es precisamente desconocido (incluso Martin Gardner lo comenta de pasada en uno de sus últimos libros), pero afortunadamente tampoco se puede decir que sea muy popular. Tenía alguna duda al respecto, pero he tenido la suerte de que vosotros no lo conocierais.

La mayoría de vosotros ha conseguido soluciones óptimas de 17 puntos jugando de una manera o de otra. Lo malo de este sistema es que nos puede hacer perder mucho tiempo buscando una solución de 18 puntos que no existe, pero creo que nadie ha sufrido demasiado en este sentido. Lo ideal hubiera sido elaborar una teoría que permitiese obtener todas las soluciones de cada n entre 1 y 17, y que de paso dejara claro que para 18 no hay ninguna. Desgraciadamente, ninguno hemos estado a la altura de tan elevado ideal.

Lo más parecido que he recibido en ese sentido ha sido la solución informática de Pardillano, que hace exactamente eso, aunque sin elaborar ninguna teoría. Claro está que esto resulta poco elegante, pero lo mismo se puede decir de lo que hemos conseguido los demás, incluyendo las demostraciones “no informáticas”. Supongo que este Desafío nos ha salido incompatible con la elegancia, así que probablemente hubiera encajado bien en la categoría de “informal”.

Informales han sido también las restantes soluciones que, en mayor o menor medida, se han obtenido por intuición y prueba y por tanto dependen de una cierta dosis de fortuna (sobre todo en mi caso). Entre éstas, sin duda tengo que destacar el trabajo de Rubenman, que fue el más rápido y el más metódico, y que ha sido el único que ha obtenido una demostración de imposibilidad de 18 razonada, demostrándonos lo bien que se mueve cuando no lleva traje y corbata. Pero quién necesita elegancia para ir a la playa…

Flores_wiki

El jueves nuevo Desafío de Rubenman

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Sebas

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