Desafío 94

El Rally (Rubenman)

La prueba especial del Rally consiste en recorrer 1600 kms. por un terreno desértico, con un depósito de combustible de 100 litros de capacidad. Todos los coches están diseñados para consumir lo mismo, 10 litros /100 kms.

Un vehículo de la organización acompañará a cada participante, portando los bidones suficientes para que en el momento deseado el conductor pueda dejar almacenada en el camino la cantidad que quiera, que podrá ser utilizada en otro momento. No hay posibilidad de otro tipo de repostaje.

Algunos equipos participantes se han puesto en contacto con nuestro blog para que les indiquemos una estrategia para acometer la prueba.

23

Soluciones hasta el lunes 10 de febrero a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 93

Dospew dice:

Buscando “algo” para cubrir los huecos que había en la lista, se me apareció esta digamos propiedad de que la suma de las permutaciones de cualquier número sólo depende de la suma de sus dígitos y redacté el desafío.  Como homenaje a los “estadísticos de pitagóricos”,  casi todos sois premiados, añadí  lo de las probabilidades.

Buscar cuántos números hay que sumen 52 , se puso así por si había que dar alguna pista ya que 25 es el conjunto Potencia de uno de 5 elementos, pero no fue necesario.

Había que hallarlos “manualmente·, aunque si se usaban los más altos; 98710 era relativamente sencillo ir sumando y restando uno;  98620, 98530. Aquí cada uno …

Agradecer a  Rubenman la web www.disfrutalasmatematicas.com, para advertirme de que el redactado y lo que creía yo que pedía no estaba claro.

Alguna respuesta me llegó en torno al 5 y otras en torno al 11, ésta era la mía. Y la justificación está claramente explicada en las respuestas;  muy detalladas en SPZ y Pardillano, directas en Sebas y Suschus, nos alegramos de verlo de nuevo enganchado, y las siempre bien razonadas de Rubenman, sean del tema que sean.

Gracias a todos.

índiceEl jueves nuevo Desafío de Rubenman

D93_Dospew

D93_Pardillano

D93_Rubenman

D93_Sebas

D93_SPZ

D93_Suschus

Desafío 93

La Herencia (Dospew)

Un anciano muy rico ha de legar a sus 5 hijos su inmensa fortuna.  Los chavales le han salido muy malos estudiantes y en el momento final quiere que se lo ganen. La fortuna que deja coincide con la suma de todos los números, (1 a 5 dígitos)  que pueden formarse con los 5 dígitos distintos de una cifra cuya suma es 52.

Les propone, en testamento, que hallen el importe a heredar y se lo repartan en 5 partes iguales o en caso de error irá a Beneficencia. Ofrece dos alternativas:

I) Elegir cada uno un dígito entre los que conforman la base decimal y formar un número de 5 dígitos distintos, que sumen 25, comprobando si la suma de todos los números que pueden formarse con ellos  es la cantidad legada ó

II) Elegir al azar una bola con un número de 5 cifras de entre todas las bolas con números de 5 cifras distintas y únicas, no hay otras bolas con los mismos dígitos, y si la suma de sus dígitos es 25 heredarán ó en caso contrario a Beneficencia.

Ante las negras perspectivas de jugárselo a la “lotería”, ya que son incapaces de evaluar las opciones,  deciden dedicar unos años a estudiar y acabar la ESO, para ver si pueden evaluarlas adecuadamente.

¿Qué cantidad legó?

¿Qué probabilidad tiene Beneficencia de heredar en uno u otro caso?

1

Soluciones hasta el lunes 27 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 92

Superpanzeta dice:

Un Desafío extraño.
Al final ha funcionado bien gracias a vosotros, pero estuve realmente a punto de estropearlo todo con mis tonterías. Estaba seguro de que no os iba a durar nada, así que lo redacté de forma retorcida y con restricciones arbitrarias e innecesarias. Todo con tal de despistar y que durase un poco más. Craso error.
El Desafío era interesante por derecho propio, y algunos de vosotros lo habéis superado y mejorado por goleada. Es un placer teneros como compañeros.
No hay mucho que contar, aparte de pediros perdón otra vez por llevarlo tan mal, en especial a Rubenman y a Pardillano. Tener que colgar pistas no para guiaros a la solución sino para que entendierais de qué iba el Desafío no fue una buena idea.
En cuanto a vuestro trabajo:
Hemos recuperado a Suschus, que no ha encontrado el camino pero lo ha intentado pidiéndome incluso que no le diera pistas, y se lo agradezco de verdad. Lo mismo se puede decir de Dospew, que se ha declarado vencido, pero del que voy a colgar igualmente su último intento fallido porque representa bien ese momento por el que todos hemos pasado en un momento u otro (yo incluído), cuando no podíamos creer que existieran soluciones exactas.
Rubenman ha incluído su propia galería de los horrores en su solución, y aunque al final casi le pilla el toro, vió la luz y lo arregló con una buena solución, aunque no es tan buena como podría haber sido, y que viene a estar a la altura de la que os doy yo. Y ya en territorio Champions, Sebas y Pardillano.
Sebas tuvo la suerte de seguirme la corriente mejor que nadie y no dejarse confundir por mis chorradas, así que fue el primero que alcanzó y superó (con creces) la solución que yo propongo. A Pardillano tuve que aporrearle con un látigo de número de colas impar para llamarle la atención porque se me iba al precipicio, a lo cual respondió dándome las gracias. ¡Gracias a tí, hombre!
Las soluciones que han obtenido estos dos son increíbles. Sus documentos finales no revelan todo lo que han trabajado. Me quito el sombrero.
Seguramente mi solución decepcionará a más de uno. Bueno, en mi descargo he de decir que no es mía. Ví el problema en un resumen de una Olimpiada Matemática, me pareció imposible (y por tanto apto para un Desafío), y sin darle las vueltas que el problema merecía, acabé consultando la solución que allí daban sin explicación. Esta solución una vez vista es tan simple y tan fácil de comprender que me dije a mí mismo que era demasiado fácil. Y ya véis lo que ha pasado.
En ningún caso he tenido que revelar grandes cosas de la solución que yo tenía prevista, ya que de una forma u otra, correos incluídos, me habéis pedido que no os ayudase. Debido a eso, las verdaderas pistas que tenía previsto ir colgando no han visto la luz. Afortunadamente, lo habéis hecho muy bien sin mí.
Pardillano ha incluído un Geo que me he permitido adjuntar como anexo a su pdf. Haced doble click sobre el clip de la última página o bien click derecho y extraer. En caso de que alguien tenga algún problema para extraerlo, Sebas también lo colgará por separado en su SkyDrive.
Como siempre, ha sido un placer estar en este lado, y os invito a pasaros por aquí a vengaros de mí con nuevos Desafíos. Hasta el próximo, sea cuando sea.

D92_entrada_solucionEl proximo jueves nuevo Desafío de Dospew

D92_Dospew

D92_Pardillano

D92_Rubenman

D92_Sebas

D92_SPZ

Geo

Desafío 92

“Demasiados Impuestos” (Superpanzeta)

En un reino feudal imaginario muy, muy lejano hay una ley ancestral que todos los monarcas han respetado desde tiempos inmemoriales.
Según esta ley, todos los súbditos tienen derecho a ser propietarios de un trigal de superficie S. La forma del trigal es libre, pero todo el mundo dispone de la misma superficie S (consideraremos solo superficies continuas sin agujeros y con un sólo borde). La forma de la parcela se puede cambiar a gusto del propietario una vez por cada período de producción (después de cada cosecha), con la condición de que no se modifique la superficie. Esto es siempre posible porque el número de habitantes es escaso y nunca hay vecinos lo suficientemente cerca como para provocar disputas.

Naturalmente, todos los propietarios tienen que pagar impuestos, y la forma de decidirlos es la siguiente:

Primero, el propietario debe elegir un punto P de la parcela, y luego el recaudador de impuestos estudia la situación y traza una recta que pase por el punto P y divide la parcela en dos regiones, una a cada lado de la recta. El recaudador elige entonces la mayor región y se queda con la cosecha correspondiente. El resto es para el propietario.
Por supuesto, no sólo el recaudador elige el lado más provechoso, sino que además, siempre elige la recta más conveniente para sus intereses.

Desde siempre estuvo claro para los súbditos que no todas las posibles formas de las parcelas eran igual de convenientes, y tampoco los posibles puntos P. Después de las primeras recaudaciones, casi todas las parcelas habían pasado a ser circulares, y todo el mundo elegía el centro como punto P. De esta forma, razonaban, el recaudador “sólo” podría llevarse la mitad de la cosecha. Y así era, así que todos se pasaron al círculo.

Y fueron pasando los siglos sin novedad hasta que, hace un par de años, el rey actual se metió en problemas de financiación por culpa de la burbuja inmobiliaria, y decidió subir los impuestos de forma “disimulada” para pagar sus deudas.
El monarca decidió que, por ley, a partir de aquel momento, todas las parcelas debían ser polígonos, o lo que es lo mismo, que las curvas estaban prohibidas. Para facilitar el registro de los nuevos planos, decidió también limitar el número de lados a un máximo de 20.
Con esto esperaba (era bastante tonto, la verdad), que muchos propietarios eligieran formas que permitiesen al recaudador obtener más de la mitad de sus cosechas.
Pero los contribuyentes no eran tontos, de forma que todos eligieron polígonos regulares con número de lados par (por ejemplo, cuadrados), y como punto P, el centro del polígono.

Después del primer ejercicio tras la “subida de impuestos” los ingresos no habían aumentado nada, así que el rey decidió dar otra vuelta de tuerca:
Por ley (añadida a la anterior), tampoco se iban a permitir los polígonos regulares.
Dicho y hecho. Los contribuyentes modificaron sus trigales para que fueran rectángulos con el punto P en el centro y, nuevamente, los impuestos no fueron suficientes.

Y en esas estamos. El rey ha empezado ya a mosquearse y a temer el ingenio de sus súbditos, así que ha decidido adelantarse a las posibles soluciones que éstos puedan ir adoptando. La última medida recaudatoria para la siguiente cosecha ha sido especialmente restrictiva:
Quedan prohibidos también los polígonos de lados pares, y además, que el punto P esté en el interior de la parcela. Debe estar en el borde.

La primera parte del desafío consiste en proponer una solución al 50% exacto con las restricciones acumuladas dadas, o, en caso de que no exista, explicar por qué y dar una solución aproximada satisfactoria (desde el punto de vista de los contribuyentes).

A la espera de ver lo que pasa en este ejercicio, el rey ya está maquinando un plan para dentro de dos años.
Piensa eliminar todas las restricciones dadas y sustituirlas por una sóla:
Prohibir que el punto P tenga contacto con la parcela. Debe ser exterior.

La segunda parte del desafío consiste en lo mismo que la primera, pero para las nuevas circunstancias.
Igual que en la primera parte, si no hay solución perfecta se pide una aproximada.
No es necesario hacer cálculos precisos si no queréis. Con un buen dibujo y una buena buena explicación de lo que se puede conseguir será más que suficiente.
Si elaboráis alguna demostración de imposibilidad, no es necesario que sea formal. Me basta con que el argumento sea convincente. Probablemente no sería capaz de entender la demostración formal…

5Soluciones hasta el lunes 13 a solucionesclubpitagoricos@gmail.com