Desafío 78

Construyendo un atril (Sebas)

Construcción de un atril de diseño con material reciclado:

Tomamos tres esferas de radios 1, 2 y 3, desechadas del Desafío 33, las colocamos sobre un plano horizontal, unidas entre sí tangencialmente

Sobre las tres esferas colocamos un plano tangente a ellas … y patentamos el DISEÑO

¿Qué ángulo forman los dos planos?

Para los que hayan calculado el ángulo antes de terminar esta larga lectura, les invito a que digan cual debería ser el radio de un cuarta esfera tangente a los dos planos y a las de radio 1 y 2

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Soluciones hasta día 1 de julio  a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 77

Rubenman dice:

“Este desafío está basado en otro, ¿qué triángulo isósceles tiene una bisectriz doble que la otra? Planteado de ese modo, incluso en formato de enunciado, puede ser fácil de localizar en la red; de ahí que diseñase una variante apoyada en una mediana.

En un repaso de soluciones, Alfalfa acude a la analítica, Tarzan a la trigonometría, Dospew se “arrima” muchísimo a lo que podemos considerar como respuesta más sencilla y Suschus juega con el geogebra y aporta su versión poética. Sebas nos da un repaso con sus propuestas concluyendo con la que considero más asequible, aunque a él seguro que le gusta más su trigonométrica. Pardillano, aparte de la solución del escote, encaja nuestro triángulo en la estrella de cinco puntas, una estrofa que también me insinuó el propio Sebas.

En cuanto a mi solución, manejaba una en formato similar a la variante geométrica que recoge Sebas y otra que es la que finalmente os propongo, para que podamos disponer de otras alternativas. Y respecto al misterio de la rima, sólo deciros que era un adorno en el enunciado y que respondía a una solución que encaja con la rima malsonante, pero que puede adaptarse a otros versos como muy bien habéis reseñado”.

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El jueves nuevo Desafío de Sebas

Desafío_ 77 – Alfalfa

Desafio_77_Dospew

Desafio_77_pardillano

Desafio_77_Rubenman

Desafio_77_Sebas

Desafio_77_suschus

Desafio_77_Tarzan

Desafío 77

Epi, Blas y el triángulo de la rima. (Rubenman)

Epi y Blas nos explican algunas cuestiones relacionadas con los triángulos.

– Esto es un triángulo rectángulo – dice Epi.

Blas señala el cateto AC, a la vez que explica que esa es su altura.

A continuación Epi traza una línea a partir del ángulo contrario a ese lado y comenta:

– Aquí tenemos una bisectriz (BD).

Blas no puede ser menos y hace lo propio con otra línea que parte del ángulo recto y replica:

– Y esto es la mediana (AE).

Ambos le piden a Gustavo que tome una regla y mida la altura del triángulo. El reportero, que no ha estado atento a las explicaciones, hace la medición entre los puntos B y F y dice en voz alta el resultado. Blas se enfada y le indica que esa no es la altura y se dispone a medir el cateto AC. Con sorpresa comprueba que le da el mismo valor.

– Es el triángulo de la rima – concluye Epi.

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¿Qué dimensiones tiene nuestro triángulo?

Soluciones antes de las 23:59:59 h del lunes a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

Soluciones Desafío 76

Pardillano dice:

Este desafío surgió del libro “Mates de cerca” que me tocó en el sorteo de los desafíos de el Heraldo de Aragón. Visto que ya os había tocado a unos cuantos, me apresuré a improvisar un desafío antes de que lo leyerais. El caso del libro se limita al caso del cuadrado (en nuestro desafío, Cuadrania), pero a mi sorprendió mucho. ¿De donde surgen, en un cuadrado, los ángulos de 120 grados?. Dándole vueltas me di cuenta de que este ángulo también aparecería en cualquier otro caso donde se permitiera agregar nodos para minimizar distancias. Escogí el archipiélago con los otros polígonos regulares porque conducían a todas las situaciones representativas: el problema básico que se da en un triángulo, que usé para mostrar que añadir puntos estaba permitido, el caso relativamente sencillo del cuadrado, donde los nodos añadidos se unen entre ellos, el más complejo y sorprendente del pentágono, y el de dos soluciones “óptimas” del hexágono.

Mi idea era que esto se convirtiera en un primer paso, con un desafío secuela en la cabeza para abordar el caso general. Por esta razón, no pedía en el enunciado demostraciones ni cálculos, solo indicar como eran las soluciones. Pensaba que profundizar en ello podría ser más adelante.

Pero ahí apareció Superpanzeta, que es capaz de exprimir cada desafío hasta lo inimaginable. Comenzó por enviarme un Geo “tramposo” que calculaba la solución directamente, aunque no exactamente de este problema sino de uno relacionado (arbol recubridor mínimo). Yo ni me di cuenta, así que tras unos cruces de email me dio toda una lección sobre árboles de Steiner. Resulta que todo esto ya estaba inventado. ¡Y menos mal que me avisó SPZ!, porque el tema es complejo y me ha ahorrado estrujarme la cabeza intentando convertir en otro desafío un problema inabordable. Al final, SPZ ha elaborado una solución fantástica complementada con dos geos con los que merece la pena jugar. Los tenéis incrustados en su pdf, pero por si acaso alguno tiene problemas, también los he colgado junto al mío en esta URL:

https://sites.google.com/site/solucionescongeogebra/d76

Además de SPZ, ahí están las aportaciones de Sebas y Rubenman que también han dado con la solución del desafío.

images

El jueves Desafío de Rubenman

D76_pardillano

D76_rubenman

D76_Sebas

D76_SPZ

Desafío 76

Poligolandia en bici (Pardillano)

El archipiélago de Poligolandia es un estado independiente ubicado en algún lugar de la Polinesia. Consta de cuatro islas: Trinia, Cuadrania, Pentania y Hexania en las que hay respectivamente 3, 4, 5 y 6 poblaciones ubicadas en forma de polígonos regulares de lado 1 km, integramente contenidos en el contorno de cada isla. En la figura tenéis el mapa del archipiélago, que podéis ver ampliado haciendo clic sobre él.

Los poligoneses se resisten a convertirse en paraíso fiscal, y mantienen un modo de vida sencillo y ecológico. No hay carreteras y su economía se basa principalmente en el turismo. Recientemente se han planteado que precisan algún medio para que los locales y los turistas se desplacen por el interior de cada isla, y han optado por la bicicleta. Van a construir una red de vías verdes (carriles para bicicleta) que una todas las poblaciones de cada isla.

El gobierno central del archipiélago es el que sufragará los gastos, y no está dispuesto a invertir un polidolar más de lo necesario. Por ello, han convocado un concurso público para elaborar el diseño cuyo pliego de condiciones establece:

– la red de vías verdes debe conectar directa o indirectamente todas las poblaciones de la isla.

– la longitud total de vías verdes debe ser la mínima posible.

Para Trinia, la primera isla sacada a concurso, se presentaron tres proyectos. El primero unía las tres localidades (T1, T2 y T3) entre si por tramos rectos, formando un triángulo equilátero, con una longitud total de 3 km. El segundo proyecto era más económico: constaba de un tramo recto entre T1 y T2, y de otro tramo recto entre T2 y T3, precisando una longitud total de 2 km. Este diseño satisfacía la primera condición del pliego, ya que de T1 se podía ir a T3 pasando por T2, pero no era el óptimo para la segunda condición. El ganador fue un tercer proyecto, que es el dibujado en el mapa con línea verde: consta de tres tramos rectos que unen cada localidad con el centro del triángulo equilátero que forman, precisando una longitud total de 1,732 km (o más exactamente raiz de 3 km).

poligolandia

PARTE A: BUSCAR EL ÓPTIMO PARA CUADRANIA, PENTANIA Y HEXANIA.

La primera parte del desafío consiste en dar con los proyectos ganadores del concurso para cada una de las otras islas (Cuadrania, Pentania y Hexania), con las mismas condiciones: todas las localidades de cada isla tienen que estar conectadas y la longitud total de los tramos precisos para ello ha de ser la mínima posible. Si para una isla hay varias soluciones con la misma longitud total de vía verde, bastará con dar una de ellas. No es necesario demostrar que la solución es óptima, basta con identificarla.

PARTE B: PROYECTO ALTERNATIVO PARA HEXANIA.

Para Hexania, el proyecto que el gobierno central está dispuesto a asumir (el que minimiza la longitud de los tramos precisos, y que habréis averiguado en la parte A) tiene una desventaja: el desplazamiento en bici entre dos de las poblaciones será más de cuatro veces la distancia que las separa en línea recta. El gobierno insular de Hexania plantea una alternativa: llevar a cabo otro proyecto diferente, que incrementa el trazado en menos de 200 metros, y pagar los gastos adicionales que esto conlleva. La ventaja de este proyecto alternativo, que no es el óptimo absoluto, es que ninguna población dista en bici de otra a más de 2,5 veces de la distancia que les separa en línea recta. ¿Sabrías decir cual es este proyecto alternativo?

PLAZOS.

El plazo para presentación de proyectos a solucionesclubpitagoricos@gmail.com  termina a las 23:59 del lunes. Se admite todo formato de soluciones, pero si queréis usar Geogebra quizá os sea útil partir del archivo que he colgado en esta URL, para el que he metido una explicación:

https://sites.google.com/site/solucionescongeogebra/d76

Una pregunta para pensar ¿qué tienen en común todas las soluciones, incluida la alternativa para Hexania? ¿tienes una idea de por qué ha de ser así?

Soluciones Desafío 75

Sebas dice:

Liquidado otro de los míos, los más optimistas dirán “…uno menos!!”

Construcciones de triángulos encontraremos infinidad, después de repasar distintas combinaciones posibles no pude encontrar en la “red” el que hemos lidiado, al menos en español. Hace unos días lo  encontré en una página de enunciados  con soluciones, algunos estaban sin solución y este era uno de ellos.

A los conocedores de las definiciones de las cónicas y algunas de sus propiedades por la “ley del escote” les resulta inevitable apartar la vista de la hipérbola, cualquier trazado que  propongáis lo emparejan a la geometría de las cónicas.

En “el escote”,  de principio dirigió la vista Superpanzeta, tuve que llamarle la atención para que echara la vista hacia otro lugar menos “pecaminoso” … a regañadientes así lo hizo. Dospew después de separarse de los virus gripales le atrae la misma “ruta” pisándome los talones, el tiempo ha evitado que nos alcanzara

Desde su inicio Rubenman y Tarzan dirigieron la vista hacia otros lugares más “serios” alcanzando perfectamente el objetivo

 hiperboloide

El jueves nos Desafía Pardillano

D75_Dospew

D75_Rubenman

D75_Sebas

D75_Tarzan

http://sdrv.ms/18KsilA