Soluciones Desafío 69

Pardillano dice:

Como se podía intuir, la solución de este desafío es partir el queso como viene siendo tradicional: en sectores circulares, en este caso de 120 grados

En cuanto a la demostración, el primero en enviar sus ideas fue Rubenman, que no pudo completarlo por partir de viaje. No obstante, he pensado que el camino que tomo está muy bien fundamentado,  y merece ser compartido, así que he recogido parte de las conversaciones que tuvimos en uno de los adjuntos. La idea de fondo es la siguiente: si el centro del queso quedará en el interior de una de las partes, los puntos de la periferia que limitan esta parte forman con el centro un ángulo menor de 120 grados. A partir de este dato, se puede deducir que la longitud de los segmentos supera la del caso simétrico con tres sectores a 120 grados. La demostración no está completa para todas las peculiaridades que se pueden concebir, pero se intuye que en todo caso podría salvarse cualquier inconveniente.

Sebas encontró la misma clave que yo para resolver el problema matemático. Si partimos de dos puntos de la periferia, por ejemplo A y B, el punto P tiene que estar forzosamente situado en una línea paralela al segmento AB, a una distancia determinada por una fórmula. Puede parecer que tenemos fórmulas diferentes, pero es la misma si tenemos en cuenta que sen(α)=2 sen(α/2)cos(α/2). A partir de esto, se deduce que la longitud acumulada de los segmentos PA, PB y PC es mínima cuando P está en la bisectriz de ese ángulo, lo que equivale a PA=PB, y si extiende el análisis a los otros ángulos, se deduce que los tres segmentos PA, PB, PC han de ser iguales.

También coincidimos Sebas y yo en la construcción del geogebra: a partir de los puntos A, B y C, el geogebra adapta P para que las tres áreas sean iguales, hallado como intersección de dos rectas paralelas a dos de los tres pares de puntos de la periferia. Nos diferenciamos en que Sebas permite mover los tres puntos, y yo mantengo la posición de C fija.

Y entramos finalmente a discutir otros modos de construir el geogebra. Mi intención al proponer el uso del Geogebra era dar una opción alternativa al que se atascara con la demostración matemática.  Pero indiqué en el enunciado, con cierta inocencia, que también sería posible partir de P y uno de los puntos, por ejemplo C, para dejar que el geogebra adapte la posición de los otros dos: A y B. Tal como dije entonces, yo no había investigado esa vía. Y resultó ser muy complicada, como habréis podido ver de los comentarios de Sebas y  SPZ al respecto. La dificultad tiene dos frentes: el matemático y el operativo en geogebra. Matemáticamente el problema es que se requiere una solución numérica a una ecuación que no tiene una solución analítica. Como apuntaban Sebas y SPZ en el blog, se puede obtener una buena solución con software como Derive o programando la resolución por Bolzano. Pero entonces nos encontramos con el problema operativo en Geogebra. Podemos programar una función en javascript que calcule esta solución, pero Geogebra no permite (hasta donde yo se) llamar a funciones en javascript directamente desde las definiciones de los objetos. Necesitaríamos programar algún tipo de evento para que se recalcule la posición de A y B al modificar la posición de P, y de momento ninguno de los tres hemos dado con el modo (aunque apuntaba SPZ que quizá fuera posible con un escuchador en ggbOnInit).

En cualquier caso, y aunque nos quedemos con la espinita de como implantar el segundo método en el geogebra, este ha dado más juego del previsto. Espero que os hayáis divertido los que no habéis podido llegar a completar una solución.

D69_ImagenSolucionEl jueves nuevo Desafio de Dospew

D69 – Pardillano – solucion

D69 – Rubenman

Sebas D69

http://sdrv.ms/10vvbHe

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21 pensamientos en “Soluciones Desafío 69

  1. Yo me he divertido, y te aseguro que no soy capaz de imaginar qué puede impedir que se pueda hacer en javascript. El único problema es la paciencia que hay que tener para aguantar el rudimentario interfaz javascript del geogebra.

    Sebas, acabo de ver tu geo, tus últimos comentarios, y la publicación de las soluciones.
    No me ha dado tiempo a leer nada aún pero no he podido resistirme a la tentación de añadir la suma total a tu geo. Le iba a poner otro nombre, pero es algo tan trivial, que espero que no te enfades. Mira las propiedades del texto y verás que es muy fácil y directo.

    Voy a leer a ver qué aprendo.

  2. Una aclaración sobre la dificultad de implantar el procedimiento en Geogebra: permitir al usuario desplazar P y que los puntos A y B se desplacen a la posición adecuada (supongamos que C lo dejamos fijo).

    Partamos del caso que si tenemos solucionado. En el ggb de Sebas, por ejemplo, si miramos las definiciones de los objetos (en la pestaña “Básico” de sus propiedades), tenemos:

    – Definición de O: Interseca[EjeX, EjeY]
    – Definición de c: Circunferencia[O, 1]
    – Definición de A: Punto[c]
    – Definición de B: Punto[c]
    – Definición de C: Punto[c]

    Hasta aquí, significa que O es el origen de coordenadas, c una circunferencia de radio 1 centrada en O, y A, B y C puntos sobre ella, que el usuario puede mover libremente. Ahora veamos los objetos que construye Sebas a partir de estos “datos de partida”. He renombrado el segmento l (L minuscula) que usaba Sebas a SBC porque se confunde con la i mayúscula, que es un punto. Por coherencia, he renombrado el segmento g a SCA.

    – Definición de α: Angulo[A, O, C]
    – Definición de SBC: Segmento[B, C]
    – Definición de SCA: Segmento[C, A]
    – Definición de i: Perpendicular[C, SCA]
    – Definición de k: Circunferencia[C, (π / 3 – α / 2 + sen(α) / 2) / sen(α / 2)]
    – Definición de H: Interseca[k, i, 1]
    – Definición de j: Perpendicular[H, i]

    Aunque Sebas no los tiene visibles, podéis hacerlo en su ggb. De acuerdo con la definición, i es una recta perpendicular al segmento AC que pasa por C. La circunferencia k está centrada en C y tiene un radio que depende de α, por la fórmula que ha deducido en la solución. H es el punto de intersección de los estos dos objetos. Seguimos y vemos que j es la recta perpendicular a i, es decir, una recta paralela al segmento AC y a esta distancia de ella:

    (π / 3 – α / 2 + sen(α) / 2) / sen(α / 2)

    Como se explica en la solución, sabemos que P ha de estar en esa recta. Seguimos con otros objetos:

    – Definición de β: Angulo[C, O, B]
    – Definición de m: Perpendicular[B, SBC]
    – Definición de p: Circunferencia[B, (π / 3 – β / 2 + sen(β) / 2) / sen(β / 2)]
    – Definición de I: Interseca[p, m, 1]
    – Definición de n: Perpendicular[I, m]

    Esto proporciona en n una recta paralela a SBC situada a esta distancia:
    (π / 3 – β / 2 + sen(β) / 2) / sen(β / 2)

    Y para terminar, el punto P buscado es la intersección de las dos rectas:

    – Definición de P: Interseca[j, n]

    Todas estas definiciones se pueden ver juntas en la vista de Geogebra ‘Protocolo de construcción’. Lo importante, es que Geogebra usa las definiciones para calcular unos objetos a partir de otros. Si se cambian los objetos de partida, Geogebra automáticamente modifica los objetos dependientes. En este caso, si se modifican A, B ó C, se desplaza automáticamente P.

    Y vamos entonces con el caso inverso. Si partimos de P y C, ¿cómo se calcularían A y B?. Para calcular A, sería la intersección de la circunferencia con la recta que forma un ángulo α con el segmento PC. El cálculo de B sería a partir de β. ¿Pero de donde salen α y β?

    Si leemos la solución de Sebas, tenemos que α es la solución de este tipo, donde “Area faltante” es un número que se puede calcular a partir de la posición de C.

    Area faltante = α /2 + Distancia(O,P) * sen(α)/2

    Pero esa ecuación no tiene solución analítica. Es decir, no podemos escribir una fórmula analítica del tipo:
    α = funcion (P,C)
    Es cierto que podemos escribir en Geogebra una función en javascript que calcule una solución numérica con suficiente precisión, y cuyos parámetros serían las coordenadas de P y C. El problema es que esa funcion no podemos usarla en la definición del ángulo α. El recuadro ‘definición’ de los objetos de geogebra no permite usar funciones de javascript.
    Ojalá me equivoque, pero si no es así, implementar esa dependencia de α y β respecto a O y P requiere el uso de herramientas más complicadas, como los “escuchadores”.

    • Pues yo creo que no. El escuchador que yo proponía no era más que por coherencia interna:
      Solución javascript->todo (todo lo razonable) en javascript.

      Si no quieres escuchadores, prescindir de ellos en este caso es fácil. Pones un javascript en la propiedad de P llamada “al actualizar” y obtienes el mismo efecto sin registrar ningún escuchador ni tocar ggbOnInit(). Aunque no acabo de ver por qué te parecen complicados los escuchadores.

      Bueno, al turrón. No se trata de ejecutar javascript desde la caja de propiedades de un objeto o desde la línea de comandos. Se trata de lo contrario. Desde javascript puedes consultar y cambiar algunas propiedades de los objetos, y lo que es más importante y más potente, ejecutar la línea de comandos del geo, así que puedes hacer lo que te dé la gana.

      Lo que yo proponía era calcular de alguna forma numérica el ángulo y finalmente hacer algo como:
      var x=ggbApplet.getXcoord(“P”);
      var y=ggbApplet.getYcoord(“P”);
      var anguloA=loqueseaA(x,y); //Aquí es donde está la magia
      var comando=”A= Rotate[C,anguloA,O]”;
      ggbApplet.evalCommand(comando);

      Y lo mismo para el punto B, con otra función loqueseaB.
      Esto crea A y B sobre la circunferencia, o bien los redefine si ya existen, lo que produce el efecto de moverlos.

      NOTA:Para usar evalCommand() es imprescindible pasar la cadena con la expresión a ejecutar EN INGLES. Es la única complicación. Si pretendes usar Rota[], tienes que usar Rotate[], si quieres usar Punto[], tienes que usar Point[], etc, etc. Esto requiere la lista de comandos en inglés que se puede encontrar en la red.

      Si consigues escribir una función loquesea(x,y) que sea suficientemente correcta y suficientemente rápida, ya lo tienes todo.
      Por supuesto, no es necesario hacerlo a partir de las coordenadas de P, puedes aprovechar cualquier otra cosa que dependa geométricamente de esas coordenadas.

    • Pardillano, buena demostración de los mínimos, la del sector o triangulo, quería incluirla por triángulos o por derivadas, y la de la suma de los tres cortes por derivadas sobre base de geometría analítica, pero lo consideré un poco pesado y que me volveríais a criticar mi forma de matar moscas

  3. ¡¡ Eureka !!. No me he quedado tranquilo hasta probarlo y funciona fenomenal.

    ¡¡¡ Muchas gracias, Superpanzeta y Sebas !!!. Sin vuestras indicaciones no hubiera sido posible.

    He creado un ggb nuevo donde el punto P se sitúa libremente. En el evento ‘Al actualizar’ se llama a una función de javascript que calcula los ángulos para situar A y B (el tercer punto C se mantiene fijo), tal como sugería SPZ. El cálculo se hace por Bolzano, tal como sugería Sebas.

    Lo sorprendente es lo preciso y rápido que es. He puesto un deslizador para controlar el número de iteraciones y con 40 basta para obtener una precisión máxima. Esas iteraciones (hasta 100) se realizan según se mueve P, instantáneamente y sin notarse saltos, y todos los objetos gráficos se mueven consecuentemente.

    He colgado los archivos en la siguiente página:

    https://sites.google.com/site/solucionescongeogebra/d69

    Los archivos nuevos se pueden descargar al final de la página, y son la versión texto en pdf ampliada (que sustituye a la anterior) y el geogebra nuevo (que es complementario, pero no sustituye, al anterior):

    D69 – Pardillano – solucion ampliada.pdf
    D69_MetodoInverso.ggb

    Sebas, no pretendo en ese web llevar una página paralela a la de clubpitagoricos. La puse en marcha para mostrar los ggb embebidos en la página y la uso para colgar información adicional como en este caso. Si quieres, puedes incluir los archivos nuevos en este blog (en cuyo caso podrías quitar el D69 – Pardillano – solucion.pdf actual ya que su contenido está integrado en el nuevo, pero no el ggb actual).

    Obviamente, lo recíproco también vale. Si alguien quiere que meta el site solucionescongeogebra algo, no tenéis más que pasarmelo.

    • Muy bueno el Geo! En este Desafío has sido el Desafiante y Desafiado
      Mis conocimientos de Geo son muy limitados y relativamente recientes, pues siempre lo he valorado desde el punto de vista del compas y regla, en este aspecto desde el principio tenía claro que me sería imposible su utilización, pues aún no he demostrado la cuadratura del círculo, tiempo al tiempo.
      Valoro muy positivamente el paso que he dado este Geo con tu ayuda y como no la de SPZ para los proximos
      Era consciente que su aplicación es inmensa, estoy utilizando algunos de mi interés encontrados por la red, pero desgraciadamente para mi cada ventana que se abre al saber, su horizonte tiende a infinito
      En mis próximos Desafíos al igual que el Informal, el Geo es un buen instrumento de comprobación de la misma forma que el tuyo , en plan modesto de regla y compas , esta vez no de construcción

    • Como decía aquel, me encanta que los planes salgan bien.
      En tus manos tenía que funcionar.
      Ahora no puedo probar nada porque estoy en el trabajo y no puedo instalar el geogebra, pero en cuanto llegue a casa me lo voy a zampar.

  4. He regresado hace un rato y apenas he podido ver lo que hay. Me alegra saber que una de las vías que tenía iniciadas, la del punto en la paralela de un lado (aprovechando igualdades de áreas) con demostración de que el isósceles era el triángulo de menor perímetro, es la vía que utilizan los maestros. Me fui en ese caso exclusivamente por Pitágoras, porque no se me dan las relaciones trigonométricas, y se adivinaba esa posibilidad. Con prisas me metí en lo que pensé que podía ser una idea mejor, y cubría gran parte del panorama, a excepción de unos casos límites, pero ya me fui sin encontrar la pócima.
    Debo reconocer que aun con tiempo, no hubiera hecho más que elaborar una línea de trabajo

  5. Tranquilo Sebas. A mí me pasa igual. No os creáis que soy un experto.
    Parece que todos los Pitagóricos hemos conocido el Geo al mismo tiempo, y a todos nos queda muy, muy grande, pero eso no nos asusta.

    En cuanto al Javascript, es la primera vez que lo uso. Me picó la curiosidad la parte Javascript de Pardillano en su Geo generador de laberintos, y le ví grandes posibilidades. No me parece muy difícil porque se parece mucho al C, que conozco desde hace muchos años.
    Eso sí, el interfaz Javascript del Geo es abominable. Está claro que no le han prestado demasiada atención. Es el peor entorno de programación que he visto jamás, lo cual no reduce su enorme utilidad. Creo que para la versión 5 tienen previsto añadir un intérprete Python, que espero mejore la experiencia. Llevo usando Python como un año y medio, así que por lo menos a mí me vendrá bien.

    Pardillano, ahora que he visto lo chapucera que es la ventana del Javascript, me inspiras un profundo respeto. Me imagino lo que tuviste que pasar para escribir lo de los laberintos ¡SIN BARRA DE DESPLAZAMIENTO! Espero que hayas actualizado la versión del Geo por una con barra.

    Al final ha resultado un Desafío memorable, sí señor.

  6. Ya estoy en casa. Juraría que había pulsado “Publicar Comentario” pero mis palabras han desaparecido. Bueno, no importa, será que el WordPress tenía hambre. Lo repito y ya está:

    ¡Qué cosa más bonita, por Tutatis!
    Impresionante. No se puede mover mejor. Me encanta cuando arrinconas el segmento más corto por el lado izquierdo y salta de un lado al otro a toda velocidad.
    Ahora no puedo ponerme a estudiarlo, pero seguro que aprendo un par de cosas.

    Pardillano, el Geo embebido me da un error. He cambiado de navegador y sigue mal. Tengo el java actualizado, así que no sé qué puede ser. Igual me pasa sólo a mí.
    No es grave porque me lo he descargado del enlace de abajo y funciona perfectamente, pero échale un vistazo al embebido a ver si hay algún problema.

    Y antes de irme a la piltra, voy a repetirlo una vez más, porque lo merece: Genial

    • Con los Geos embebidos también tengo problemas de navegador, creo que desde que utilizo el Windows 8, todos me dan error “Java no está disponible”, con el único que he podido solucionarlo ha sido con Firefox

  7. Yo estoy sorprendidísimo de lo bien que ha funcionado la solución de SPZ con el evento “Al actualizar”. Creo que da mucho juego. Estoy ya pensando en un simulador de lanzamientos de cohetes de agua para los niños (de paso, a ver si se me ocurre un desafío relacionado).

    Un 10 para los creadores de Geogebra. Me pongo en su lugar y no se como lo han programado. A cada micromovimiento del ratón se actualiza todo, pero presumiblemente ántes de que se acaben los cálculos, el ratón se ha vuelto a mover, por lo que o bien se tendría que interrumpir el cálculo anterior (lo que se vería como que hasta que no lo dejas quieto no se retraza todo), o bien ejecuta cálculos en paralelo (lo que fácilmente llevaría a bloquearlo y que no responda), o tienen una gestión muy sofisticada de esto (lo que es muy complicado si estás ejecutando una función definida por el usuario que no sabes cuanto tarda). Tengo ganas de probar a incordiarlo a propósito a ver que pasa cuando el cálculo es deliberadamente muy lento o no sale de él.

    En cuanto a la configuración de Geogebra, me pierdo totalmente. Durante mucho tiempo, he estado programando en javascript sin que funcione la barra de desplazamiento, y debía ser yo el único, porque no encontré ese problema en foros. Recientemente ha empezado a funcionar y no se por qué, ya que no he actualizado la versión (sigo abriendo el geogebra ejecutando el mismo gegogebra.jnlp descargado de http://www.geogebra.org en noviembre). En cuanto a los embebidos en google sites, ni idea de por qué en unos casos funciona y otros no, y lo he probado en diferentes ordenadores y con diferentes navegadores. Incluso a veces donde funciona deja de hacerlo, y en ocasionas se soluciona después de intentar varias cosas (reinstalar java, actualizarlo, etc.). No se en qué está la clave.

  8. Por cierto, deben estar sorteando los ganadores del segundo Desafío Estadístico. Si no me equivoco, el día 30 publicarán las soluciones y el ganador.
    No sé por qué, me da en la nariz que estamos en racha. Yo apuesto por Sebas.

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