Desafío 62

Tapando cuadrados (Rubenman)

Imaginemos que tenemos losetas cuadradas de 1 metro de lado. Con 4 ellas podemos cubrir un cuadrado de 2 metros de lado, con 9 otro de 3 metros, o con 16 placas uno de 4 metros.

Ahora quitamos una pieza en cada una de esas formaciones, (nos quedamos con 3, 8 y 15 respectivamente) y vamos a intentar cubrir con estas restantes, sendas superficies cuadradas máximas; pero sin hacer cortes, doblamientos u otras manipulaciones. ¿Cómo te resultan esos cuadrados?

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Soluciones Desafío 61

Sebas dice:

Desafío irregular, pues normalmente los Desafiados no son muy dados a las soluciones geométricas, pero en este caso todas las recibidas lo son, semejantes entre sí con distintas “tonalidades” como si esta solución fuera la única, desde luego la considero la mejor

El trazado de diagonales, su prolongación e intersecciones hace pensar que el camino obvio sea la geometría analítica, ruta que reconozco pesada. Otra alternativa que había considerado era la trigonométrica, no la tome en serio hasta después de contestar a los Comentarios en un afán de hacer una llamada a los parroquianos, siendo una vía que me resulto más llamativa que la analítica

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El próximo jueves vuelve Rubenman

D61_Rubenman

D61_Sebas

D61_SPZ

D61_Tarzan

Desafío 61

Pentágono (Sebas)

En un pentágono irregular ABCDE con las siguientes condiciones:

Está inscrito en una circunferencia.

La diagonal AD es un diámetro

La diagonal BE es perpendicular a la diagonal AD

El lado AB es mayor que el lado CD

Las prolongaciones de la diagonal AD y el lado BC se cortan en el punto F

Las prolongaciones de la diagonal AC y el lado DE se cortan en el punto G

Demostrar que el segmento FG es perpendicular al AF

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Soluciones Desafío 60

Pardillano dice:

Voy a comenzar los comentarios de las soluciones por la mía propia, para situar el problema y justificar el modo en que está planteado. En mi solución la parte 2 (demostración de la fórmula para el caso de Alberto) va primero, aunque usa resultados de la parte 3. La clave de mi aproximación es relacionar el número de caminos recorridos por Alberto para N manzanas, que llamo T(N), con el número de caminos para N-2 manzanas, que llamo T(N-2). Para obtener esta relación, recurro a tediosas operaciones con sumatorios, pero si prescindís de ellas, la idea se ve más clara en las tablas que muestro de ejemplo sombreando las celdas de diferentes colores. La relación entre T(N) y T(N-2) involucra el número de caminos de Alberto para llegar a las celdas por encima de la diagonal verde. El cálculo de este dato me pareció suficientemente laborioso como para separarlo en la parte 3. Usando ese resultado, la relación entre T(N) y T(N-2) permite demostrar por inducción la fórmula general para T(N).

Respecto a la parte 3, en mi solución intenté detallar, para hacer más claro, el mismo problema del cálculo los caminos monótonos en una retícula cuadrada que podéis encontrar  en la wikipedia en el artículo “números de Catalán”.  Probablemente he conseguido lo contrario, así que si os desesperáis intentando entender mi enfoque, os remito a la wikipedia, donde se explican además otras propiedades de los números descubiertos por el señor de la ilustración.

Tras el suplicio de ojear mi solución, podéis disfrutar de las soluciones de Dospew y Sebas. Ambos solucionan directa y elegantemente, por caminos diferentes, la parte 2. Y posteriormente particularizan o extienden la solución para la parte 3. El método de Dospew es brillante, y va directo al corazón del problema: señala y explica por qué los caminos seguidos por María son tantos como los de Alberto. Sebas no se limita a demostrar la fórmula para Alberto correspondiente a N manzanas, sino que incluso ha encontrado la fórmula que proporciona el número de caminos que conducen a cada celda en las condiciones de Alberto. Es decir, no solo obtiene el total de los cruces a N manzanas, sino el detalle de cuantos a cada uno de esos cruces. El fondo de la fórmula es que a un cruce Alberto puede llegar de tantas maneras como María, excluyendo las trayectorias que María pueda realizar pisando la diagonal. El resultado es que las posibilidades de Alberto son la diferencia de dos números combinatorios.

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El próximo jueves nuevo Desafío de Sebas

D60-Dospew

D60-Pardillano

D60-Sebas

Desafío 60

Circulando por la ciudad – Segunda y Tercera parte. (Pardillano)

En este desafío englobo la segunda y tercera parte del problema “circulando por la ciudad” iniciado en el desafío 53. Inicialmente estaba previsto que ocupara tres desafíos, pero dado el desarrollo de la primera parte (mi poco tino al prever por donde ibais a tirar), he preferido englobar las dos restantes en uno solo.

La segunda parte es la demostración de la fórmula que genera los datos que se pidieron en la primera. Es decir, la que proporciona el número de caminos en una malla cuadriculada empezando y acabando en la diagonal (María en moto), que coincide con los caminos de la misma longitud que nunca pasan por la diagonal (Alberto en automóvil).

La tercera parte es una variación del problema: el cálculo de los caminos que empiezan un cruce por encima de la diagonal y acaban en otro cruce inmediatamente encima de la diagonal, sin llegar nunca a pasar por ella.

La solución, en ambos casos, es más laboriosa de lo deseable, así que temo romper la racha de desafíos bien proporcionados que llevábamos. Esto se agrava al englobar las dos partes en un mismo desafío, pero mantenerlos separados no tiene sentido. En mi solución necesito la tercera antes que la segunda, pero por lo que apuntasteis algunos en el desafío 53, otras soluciones pueden seguir otros caminos. Y mi idea de censurar las soluciones de una parte para no fastidiar la siguiente ya se reveló desastrosa. Reincidir en ello sería cruel.

He intentado paliar todo esto facilitando (poco) la solución de las dos partes. Para ello proporciono en ambos enunciados la fórmula que se pide demostrar en la tercera parte (inicialmente tenía previsto además pediros que dierais con ella). Esto hace que las dos partes se puedan abordar independientemente, y os podéis centrar en una si no tenéis tiempo o ganas de meteros con las dos. En este caso, os recomiendo la tercera, aunque puede que alguno de los que tuvisteis que morderos la lengua en la primera parte preferiréis desquitaros redondeando la segunda.

Os prometo corregirme para el siguiente que proponga.

Una sugerencia: aunque tenéis el enunciado de las dos partes en archivos separados, creo que sería mejor que todos hagamos un único archivo con nuestra solución, en el que se incluyan las dos partes.

D60 – CirculandoCiudad – Segunda parte        D60 – CirculandoCiudad – Tercera parte

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Soluciones Desafío 59

Rubenman dice:
“El presente desafío toca a su fin. En los archivos adjuntos podréis comprobar distintos modelos de respuestas. No puedo dejar de mencionar a Tarzan y Superpan que también han demostrado ingenio a la hora de buscar caminos.

Pretendía buscar un formato diferente y eso acrecienta el riesgo de error, en este caso me veía obligado a exigir algo más que una idea o razonamiento, de ahí que utilizase las comillas al escribir la palabra demostrar; si bien ya os advertía que no se pretendía una rigurosidad.

Yo creo que nos quedaríamos más descansados si dijésemos que la respuesta es “sí, porque sí” y nadie podría ponerlo en duda. ¡Qué desafíos proponen algunos¡ (sin comentarios)”

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El próximo jueves Desafío de Pardillano  ….supongo

Desafio_59_Dospew

Desafio_59_Pardillano

Desafio_59_Rubenman

Desafío_59_Sebas

desafio_59_Suschus

Desafío 59

La pastelería (Rubenman)

El día de la inauguración de una pastelería acuden 250 invitados que se comen 500 pasteles, de manera que todos han degustado al  menos uno pero nadie ha devorado más de la mitad del total. (Se supone que se trata siempre de unidades enteras y que no se comparte la comida).

Una vez acabada la jornada, el dueño del local hace sus cuentas y comprueba que, en varios repartos hipotéticos con esas mismas condiciones, encuentra un modo de repartir a esos 250 comensales en dos grupos de forma que el número de pasteles degustados en cada uno de ellos sea el mismo (no necesariamente debe haber el mismo número de personas).

¿Crees que siempre será posible ese reparto con esos datos? En este desafío te pedimos que “demuestres” la respuesta.

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Soluciones antes de las 23:59:59 h del lunes a solucionesclubpitagoricos@gmail.com