Desafío 51

17 partes (Suschus)

Unos padres, que tienen 17 hijos, han visto el desafío 50 y les ha gustado esta idea, de rectas secantes que no concurren más de dos en un mismo punto, para dividir un campo que tienen muy grande en 17 partes (no les importa que no sean iguales).

El campo es tan grande, que todas las rectas se cortan en él salvo que sean paralelas (no se le pueden poner puertas al campo).

Lamentablemente con las condiciones del desafío no se consiguen 17 regiones, así que están dispuestos a modificarlas.

¿Cómo conseguir 17 regiones si las rectas no son necesariamente secantes, es decir, si se admiten paralelas?

¿Cómo conseguir 17 regiones si se permite que por un mismo punto pasen más de dos rectas, pero no se admiten paralelas?

¿Cómo conseguir 17 regiones si las rectas no tienen ninguna restricción?

Al presentar las soluciones conviene aplicar aquello de que una imagen vale más que mil palabras.

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Soluciones antes de las 23:59:59 h del lunes a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

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102 pensamientos en “Desafío 51

    • Sólo una pregunta previa. Cuando se dice que todas rectas se cortan en él, quiere decir que fuera del campo no puede haber cruces; aparentemente parece que es la interpretación más restrictiva.

      • Yo creo que sólo lo parece. Haciendo el campo más grande para incluir los hipotéticos cruces exteriores volvemos a donde estábamos. En mi opinión es sólo una forma algo enrevesada de decir que se permiten las paralelas. O al menos es como yo lo veo…

        • Tiene que ser de manera que no pueda darse ningún cruce más en el exterior, que todos queden en el rectángulo; sino existirían demasiadas posibilidades. Está bien enunciado, hice una lectura muy rápida y veo que concreta que el campo es lo suficientemente grande para que todo quede dentro, y no haya cruces exteriores.

  1. Perdonad por el retraso en atender los comentarios. Como ya habéis aclarado la grandeza del campo es para que todos los cruces de rectas se den en su interior. Vamos que no se pueden utilizar rectas cuasiparalelas (esas que se quieren cruzar fuera del campo por grande que éste sea).
    En cuanto a la forma del campo, ahora me doy cuenta que tiene que ser convexo, es decir, que al unir dos puntos cualesquiera del mismo con un segmento recto, todos los puntos del segmento pertenecen al campo.

  2. Dar una respuesta al desafío, no va a resultar difícil. Lo laborioso puede ser demostrar que la o las soluciones que propongamos son todas las posibles; y por ahora no se me ocurre nada que lo haga en un par de líneas. Aunuqe ya tengo una respuesta, voy a ver si ataco esa parte.

    • Eso evita que me vuelva loco… Gracias igual me quedo en dos. Pero como Rubenman y Sebas tienen solución pues seguiremos con el tercero a ver si te sorprendemos…

      • Rubenman ya me ha sorprendido, porque en el tercer caso que permite tantas libertades, ha encontrado cuatro modelos diferentes, y yo estaba feliz con dos modelos. Así que se abre la veda a la caza del mayor número de modelos diferentes en el tercer caso.

        • Los cuatro me salen tras un análisis estructurado, digamos que en la teoría salen, y luego al llevarlo a la práctica se confirman. Esperemos no haber metido la pata. Y según ese estudio, no sería posible más formatos.

          • Creo que soy yo el que debe meter la pata, sin un serio estudio me salen bastantes más, algunos casos claramente distintos y otros que me llevan a confusión, con posibilidad de aumento

            • Ojo, que puedo estar equivocado, no hay que desechar nada.
              Yo sólo tengo cuatro casos o formatos diferentes, en el tercer enunciado. Con la vía que he seguido no veo más, pero esto no ha hecho más que empezar.
              De todos modos, si te salen más, y los ves en el dibujo, algo puede haber.
              Yo he hecho los dibujos a partir de lo que me mandaba la teoría, pero si me dejo algo en el tintero, todo puede ser..

              • Para empezar, este teme se me da muy mal, de teoría nada. Cuando dices casos o formatos, no sé donde terminan unos y empiezan otros, según mis “dibujos” para un ¿formato? tengo (supongo) 6 ¿casos? descartando simetrías, que me vuelven loco. Ne falta seguir por otros dos formatos, e investigar otros posibles. De momento lo dejo, cuando fijo la vista ya no sé si son dos o tres las paralelas. Si me aclaro, mañana será otro día
                Para estrenarse Suschus……

                • La palabra modelo, formato o caso la hago similar. Por ejemplo 2 paralelas y 10 secantes lo considero como un único formato, da igual que sean luego verticales oblicuas o en la dirección que sean. Respecto a los cruces, sihay 12 rectas y hay un nodo por donde pasan tres, y los demás son nodos de dos, sean como sean lo considero también como un único formato o modelo.

  3. Para intentar concretar el tercer caso, los padres lo han estado pensando, y me dicen que de las soluciones posibles la que más les gustará es la que favorezca el contacto entre sus hijos. Es decir, que hay que conseguir que el valor medio de los vecinos que tiene cada hijo sea máximo.
    Ya me perdonaréis por no haber propuesto esto desde el principio.

  4. Entre Maito y Rubenman ya han encontrado 7 modelos para el caso tercero. Y de momento no me atrevo a decir que no quede alguno más por descubrir.
    Os animo a que me mandéis los modelos que hayáis encontrado para ver si son diferentes a los 7 conocidos.

  5. Y el listón sigue subiendo. Sebas aporta el octavo modelo del caso tercero.
    Y sigo intentando ver si al final hay un modelo de mayor vecindad entre los hermanos.
    Soy un desafiado más.

  6. Tendré que revisar mi cuadro teórico porque algo he debido pasar por alto o el planteamiento no es del todo correcto..
    De paso una sugerencia a Sebas, la de abrir un nuevo enlace con el desafio del País, al fin y al cabo de ahí nació la idea, y es muy probable que alguno lance un buscador y se tope con esta página. Sólo es una sugerencia.

  7. Yo no estoy teniendo mucho tiempo y voy pasito a pasito. De momento no sé de qué habláis. Lo poco que llevo me está costando más de la cuenta, así que igual es que me he perdido y estoy haciendo algo más difícil de lo que se pretende.
    Por si las moscas, aunque sólo tengo la primera parte, se la voy a mandar a Suschus a ver si voy bien o qué.

  8. SPZ viene más lento pero sin dejar ningún resquicio por analizar, así que puede que al final descubra algo que no hemos visto los demás.
    Para aclarar lo que se entiende por modelo en el tercer caso, os puedo decir que los ocho modelos encontrados hasta el momento se diferencian o bien en el número de vértices, o bien en el tipo de vértices (dobles, triples…), o bien en el número de rectas paralelas o su agrupación (dos y dos, dos y tres…)

  9. En estos momentos, en relación a los 8 modelos encontrados para el tercer caso, la situación es la siguiente:
    Maito: 1 – 2 – 3 – 4 – 5
    Suschus: 4 – 6
    Rubenman: 1 – 4 – 6 – 7
    Sebas: 4 – 7 – 8
    Dospew: 4 – 5 – 8

    Así que parece que el modelo 4 es el más evidente, y los modelos 2 y 3 sólo los ha encontrado Maito.

    Parezco el narrador de los dibujos de los autos locos. Y como os conozco, yo me pido ser Pierre Nodoyuna.

    • Haciendo honor a mi nuevo apodo, corrijo la situación actual. Los ocho modelos se quedan en seis, ya que los anteriormente denominados 6 y 8 son los mismos que el 2 y el 3.
      Maito: 1 – 2 – 3 – 4 – 5
      Suschus: 2 – 4
      Rubenman: 1 – 2 – 4 – 6
      Sebas: 3 – 4 – 6
      Dospew: 3 – 4 – 5

  10. Jesus, creo que ya he cerrado definitivamente el elenco y son 7 diferentes. Los tres que me faltaban son teóricos, pero ha sido un dibujo mental el que me ha hecho ver que también es posible cinco menos unos (tú me entenderás), te he pasado ya el archivo con los tres nuevos. lo de contar el mejor lo dejo para otro momento. Creo que ahora sí está cerrado.

    • Rubenman aporta un séptimo modelo inédito, y plantea que con éste se acaban los casos posibles. No es por llevarle la contraria, pero me gustaría que apareciera algún otro para darle más emoción.

      • Me dejé tres la vez anterior porque no había valorado que pudiera hacerse de otro modo. En el momento que he caído ha sido muy sencillo sacar los otros tres.
        Creo que a estas alturas podemos ser claros. Con cinco rectas es IMPOSIBLE, y con siete yo digo que tampoco es posible. Hacer el estudio completísimo de 7 rectas es algo largo, pero de forma resumida lo tengo, y salvo error no veo factible.
        En cuanto a seis, en teoría (según mi vía de estudio) sólo tendrían cabida 12 formatos diferentes de los cuales 5 se descartan por inviables.
        No sé si estáis siguiendo un patrón de análisis, o es por tanteo. Si alguien necesita ayuda para buscar un método de búsqueda, puedo dar pistas.
        Evidentemente todo lo dicho (o parte) puede ser erróneo…

          • Este, como el anterior, es pura combinatoria. Y combinaciones de n, tomadas 2 a 2, está presentes siempre, pero olvídate por ahora.
            El máximo posible de regiones sólo se obtiene si todo son secantes.
            Cualquier modificación (en nodos o paralelas) MINORA el número de regiones.
            Se trata de analizar primero, en qué medida surge esa minoración; para luego buscar el modo de llegar a lo que pretendemos.
            No hace falta ningún tanteo, sólo comprobación o encaje práctico posterior.

          • Creo que te va mejor lo de profesor Locovitch y su Auto/Súper Convertible, al fin y al cabo eres el jefe de máquinas. Lástima que no tengamos ninguna Penélope Glamour

  11. Perdonar, para no despistar, cuando dije el máximo si son secantes, habría que añadir dos a dos. Lo sobreentendí. Es decir que en un nodo sólo concurran 2 rectas.
    Cualquier otro formato, disminuye el número de espacios o regiones.

  12. Novedades de última hora. Sebas en su Stuka Rakuda (el avión del barón rojo) está a punto de alcanzar a Rubenman.
    Maito: 1 – 2 – 3 – 4 – 5
    Suschus: 2 – 4
    Rubenman: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7
    Sebas: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6
    Dospew: 3 – 4 – 5

  13. Ayer fue un mal día. Me he llevado el problema a la cama, aprovechando que he dormido mal, y me ha explotado la cabeza. Digamos que el superconvertible se averió.
    Calculo que las posibilidades de abandono son grandes, aunque falta bastante tiempo y ya veremos.
    Después de la explosión he empezado a probar a lo tonto el apartado 3 y me han salido 5 en una hora, sin usar el cerebro chamuscado más que para contar las regiones y descartar equivalencias. Sólo probatinas. Esto por supuesto no me gusta, y tampoco me parece bien superar al Desafiante en la lista del apartado 3 sin usar ningún sistema. Creo que Pierre se merece no quedar el último, aunque probablemente, esto sea un efecto secundario de la explosión…
    Una duda sobre el tercer apartado que tengo apuntada desde antes del siniestro:
    ¿Todas esas soluciones, 7, 8 o las que sean, comparten media máxima de vecinos?

    • Super en relación a tu pregunta comentarte que, en mis siete, hay diferencias en las medias. Uno de ellos es el que tiene el mayor valor, que no he incluido en la respuesta, pero que sencillo de computar.
      Super, para la tercera pregunta no es necesario contar ninguna región, si acaso para quedarte tranquilo; y tampoco ponerse a dibujar al azar.
      Con decir número de rectas, número de paralelas entre sí, y número de vértices de cada clase; ya es suficiente para saber el número de regiones existentes. Luego se trata de intentar transformarlo en un dibujo y comprobar.
      Me baso en lo siguiente:
      17-22 = – 5
      -3-1-1 = – 5
      -1-1-1-1-1 = – 5
      Ese es mi método….

      • Caray con el Superheterodino. Qué sutileza…
        Supongo que donde dices “paralelas entre sí” quieres decir números de grupos de paralelas entre sí de cada clase, pero yo no lo veo tan claro, todo me da vueltas. Así no se puede participar…
        ¿Por qué no contáis la solución del primer apartado en éste? No lo entiendo.
        ¿Dospew la ha incluído, o es que hay al menos 9 soluciones?

        • Perdona SPZ por no aclarar mejor lo de los modelos. Acabo de incluir un comentario más abajo que espero que sea útil.
          Y tienes razón, la solución al primer caso también lo es al tercero, así que oficialmente se establece que el número de modelos que cumplen es 8.

  14. Yo me baso en una formula, sin demostrar, que calcula el número de regiones en base al número de rectas y de puntos de corte, lo cual acota los casos posibles y además en lo que ocurre cuando una recta cambia su “paralelidad” (vaya palabro me ha salido) y/o su pertenencia a un puto múltiple.
    Spz, sI estudias los cinco que te han salido veras esa propiedades fácilmente, aun reconozco que obtenerlos todos ha sido a fuerza de mover rectas intentando cumplir esas reglas y ver si surge algún caso nuevo.
    Vamos que al final el método también es un poco chapucero, aunque vaya orientado.

  15. Para dejar claro lo que se entiende por un modelo que cumple con el caso 3, lo voy a explicar con uno de ellos, el que aparece en todas las soluciones propuestas por vosotros.
    Con 6 rectas, donde hay 3 paralelas entre ellas, otras 2 paralelas entre ellas y 1 secante, se pueden dibujar de tal forma que haya 1 cruce triple (de tres rectas) y 8 cruces simples (de dos rectas), dividiendo el plano en 17 regiones. Todos los dibujos con 6 rectas y 9 vértices, donde haya 3+2 paralelas y 1 vértice triple, se consideran que son variantes de este modelo.
    Y hay 7 modelos diferentes.

      • Correcto Sus, el primero parece que lo obviamos (7+1).

        Con 7 rectas, paso mi esquema que dice que nanay
        29-17= 12

        6+6 (3 opciones inviables)
        6+3+3 (6 inviables)
        6+3+1+1+1 (16 inviables)
        6+1+1+1+1+1+1 (14 inviables)
        3+3+3+3 (5 inviables)
        3+3+3+1+1+1 (16 inviables)
        3+3+1+1+1+1+1+1 (21 inviables)
        3+1+1+1+1+1+1+1+1+1 (20 inviables)
        1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 (13 inviables)

        * las opciones inviables son muy evidentes de antemano. No puedes meter 4 juegos de paralelas con 7 rectas, por ejemplo.

        S.E.U.O.

    • Todo esto estaba ya más que claro, gracias. Y uno de mis 5 es el de tu ejemplo.
      No tengo ganas de buscar más mientras no entienda lo que me falta.
      Y lo que me sigue faltando es saber cuándo una combinación de reducciones es posible. Es decir, partimos del cálculo de secantes simples y buscamos al menos 6 líneas porque necesitamos un exceso para empezar a reducir. Un vértice triple cuenta -1, uno cuádruple -3, uno quíntuple -6, uno séxtuple -10, etc, etc. Un grupo de dos paralelas -1, un grupo de tres paralelas -2, uno de cuatro paralelas -3 etc, etc. Todo esto está muy claro, pero lo que no tengo claro es cuándo una combinación de reducciones que acabe numéricamente en 17 es posible en la práctica sin tener que recurrir a ir probando.
      Seguramente será algo evidente, pero no lo veo.

  16. Por cierto, uno de mis problemas es que tenía mal la cuenta de lo que eliminan los grupos de paralelas. En mis ejemplos no pasaba de 2 ó 3 por grupo y pensaba que quitaban n-1. De ahí lo que pongo más arriba de los grupos de cuatro paralelas. No me había dado cuenta de que quitan n(n-1)/2.

    En fin, ahora ya está todo claro, y me declaro vencido por el Desafío. Después de tantas pistas ya no me apetece conducir por el rebufo del Superheterodino, especialmente cuando es casi igual a mi propia solución del primer caso, con la diferencia de que allí voy sumando sectores y aquí se restan. Ahora veo claro que también para el primer caso era más fácil restar.
    Bueno, está visto que tengo que dormir más.

    Como al menos mi solución parcial está bien, la dejo como está. Si no se me ocurre algo nuevo que aportar, creo que no voy a completarla. Voy a pasarme por el taller de Desafíos a ver si saco algo más útil.

  17. Está visto que no me dejáis descansar.
    Sigo contando mal, y no me decís nada, marditos roedores…
    He mezclado en mis papeles y en mi cabeza la estrategia de ir sumando y la de ir restando y ya no sé lo que estoy haciendo. Y con mis cuentas acabo de liar a Sebas, así que me retiro a mis aposentos a contar mejor hasta que todo sume -5. Tranquilo Sebas, tus 6 casos tienen 17 sectores, luego tienen que tener -5. Y eso será cuando contemos bien…
    Luego los comparo con los míos y si puedo te regalo alguno que no esté repe.

  18. Si alguien se anima a seleccionar el modelo en el que los hermanos se mantienen más unidos, que considere que la relación de vecindad consiste en compartir un lado.
    Si se considerasen como vecinos los que comparten un vértice, habría dos modelos ganadores, otros dos diferentes, ya que el modelo que ganaba antes se convertiría en el peor.

    • Si tomamos como vecindad el vértice e interpretamos lo de “sin ninguna restricción” de manera extrema, podemos considerar 17 semirrectas que convergen en un punto. Esto sería el modelo nº 9 y el vencedor absoluto en vecindad y en facilidad de repartición y acceso posterior.

    • Yo pensaba que estaba contando bien, pero resulta que mi sistema de cuenta no es fiable. Algo me falla a veces. Según mi sistema, tanto Sebas como yo tenemos soluciones con -4.
      Eso significa que no lo he entendido todo. A ver si esto lo he pillado.
      Mi interpretación de la notación jaboniana -3 -1 -1 viene a ser esta:
      -3 -1 -1 suma -5.
      17+5=22, que es el máximo para 6 líneas (1+(6×7)/2=22), luego hay 6 líneas.
      Por parte de los -1, no sabemos si vienen de grupos de 2 paralelas o bien de cruces triples. Como el orden no importa, hay tres posibilidades P2+P2,C3+P2,C3+C3.
      Por el lado del -3, no sabemos si viene de un grupo de 3 paralelas o bien de un cruce cuádruple, luego hay dos posibilidades: P3 y C4
      3 posibilidades x 2 posibilidades = 6 posibilidades.
      El supuesto P3+P2+P2 es inviable porque requiere 7 líneas.
      El supuesto C4+C3+C3 es inviable porque al no incluir paralelas, el número de cruces debería ser n(n-1)/2. Para 6 líneas, debería ser 15 y sólo hay 10.

      Yo estoy suponiendo que lo que descuenta cada bloque de paralelas es:
      P(P-1)/2, donde P es el número de paralelas del bloque.
      Y lo que descuenta cada cruce es:
      (C-1)(C-2)/2, donde C es el número de rectas que se cruzan en cada nodo.
      Yo creía que estas cantidades eran independientes, pero está claro que no es así, y que tengo que repasar mi sistema de restas.

      • Es totalmente correcto. En el caso -3-1-1, has visto los seis supuestos y te ha sido muy sencillo descartar los dos inviables, Ahora intenta plasmar en dibujo esos cuatro que te quedan.

        Luego vas al (cinco, menos unos) a ver qué ves.

        Es imposible conseguir (-4) y 17 regiones, algo se cuenta mal.
        Comenté que TODO se basaba en combinaciones de n, tomadas dos a dos (y si quieres tb de n-1); como tú mismo has podido comprobar.
        En principio a la hora de contar hay independencia, pero tal vez en el dibujo haya que ingeniárselas para cuadrar lo que te pide la teoría. Pero con sólo 6 líneas, se ve muy pronto.
        Ves como cuando quieres lo haces, eres un mimosín

      • Todo lo que explicas es correcto, y las disminuciones de regiones asociadas a paralelas y cruces múltiples se restan de manera independiente.
        Si fuese un toro, te pillaba…

        • Pues sí. De las que tiene Sebas, según él, había dos con -4. Cuando las he mirado, me ha parecido que había sólo una y que Sebas se había debido confundir. Como yo también tenía una con -4, he pensado que no podíamos estar equivocados los dos.
          Bueno, pues mi caso de -4 es inválido. Es de -4, pero cuando se dibuja bien, tiene 18 sectores, como estaba previsto.
          Y los seis de Sebas son de -5. No tengo ni idea de por qué Sebas ha visto casos de -4. Supongo que habrá comido lo mismo que yo.
          No tengo ningún modelo nuevo para dejarte, Jefe. El único que no tenías no vale.

          Entre todos me váis a volver loco. He dicho que no quiero sacarlos todos y ya está. Para empezar, no me lo merezco porque el mérito es, una vez más… de Rubenman. Para continuar, ahora ya no tiene gracia. Y para terminar, cuesta mucho explicarlo todo en una solución decente, y no me apetece cuando la solución no es mía.
          Menos mal que la semana que viene vamos a descansar de verdad, con un fresco aroma en la almohada…

          Mimosín.

  19. Ha estado peleón el desafío. Yo aporté una solución básica y luego en las sucesivas ampliaciones no entendí bien lo de los patrones y aunque dibujaba particiones diferentes , resulta que repetía patrones por lo que me quedo en el original (3). A ver que ha ideado Rubenman…Felicidades

        • Te sugiero que no te pases por Gaussianos. Creo que ^DiAmOnD^ debería haber moderado un poco, aunque yo no soy quien para hablar porque una de las pistas se me ha escapado a mí.

          • Me he pasado y he visto tus aportaciones. Pero yo la clasificación entre feo, horrible y bonito creo que no se pide . Sólo “bonitos” y el resto “no bonitos” . En ese blog está la solución y eso facilita mucho la explicación… Estoy con Sebas , ahí si que faltan tijeras….

            • Efectivamente, sólo se pide el número de bonitos.
              No es que sirva de mucho saber el resultado, pero el jefe del garito había pedido explícitamente que no se dieran las soluciones. Debe ser difícil ser jefe, con gente como yo por ahí suelta. Menos mal que Sebas me tiene controlado con una zanahoria colgando de un palo.
              En fin, me preocupa más saber si los correctores van a rechazar todo lo que tenga relación con los conjuntos. Deberían hacerlo, creo.

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