Desafío 43

Puntos móviles (Maito)

En una circunferencia fijamos los extremos de un diámetro A y B, unimos un punto cualquiera P al punto A, consideremos un punto cualquiera M del segmento AP y unimos este con el punto B. Por último consideramos un punto N del segmento BM tal que AP/MP = BM/NM = k.

Cuando P se mueve a lo largo de la circunferencia completa, M se mueve describiendo una trayectoria cerrada y N también lo hace describiendo otra trayectoria cerrada, las tres trayectorias encierran superficies delimitadas. Se pide:

 1. La relación de proporcionalidad de las superficies que encierran las trayectorias que describen cada uno de los puntos P, M y N al moverse, es y decir SP/SM y SM/SN

2.  El valor de k para que las trayectorias de M y N sean tangentes entre sí+

3. El valor de k para que el segmento BP sea tangente a las trayectorias de M y N. cuando P es equidistante de A y del centro de la circunferencia.

Soluciones antes de las 23:59:59 h del lunes a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

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46 pensamientos en “Desafío 43

  1. La geometría se me da francamente mal, y encima con tantas letras. Este creo que es de los que me tendré que poner cuando me dejen tranquilo en casa.

  2. Una preguntilla:
    “unimos un punto cualquiera P al punto A”
    ¿Un punto CUALQUIERA, o, como en el dibujo, un punto cualquiera DE LA CIRCUNFERENCIA?

  3. A mi tambien se me da mal la geometría, así que seguro que no te resulta difícil. Mas que un desafío es un ejercicio, no hay idea feliz ni nada por el estilo. Menos mal que Sebas me indicó mejoras a la hora de redactar el enuniarlo, el que yo le envié originalmente si que era un reto indescifrable.

    • Aquí no hace falta lupa. Ya tenemos dos respuestas, así que tal como hizo rubenman en el anterior desafío animo a las viejas glorias a participar y por supuesto a los que quieran darse a conocer.

  4. Maito entiendo que la proporcionalidad k se mantiene durante todo el recorrido de P.
    Como discípulo de Sebas en “geo” puedo asentir que una imagen vale mas que mil palabras…

    • ¿Vas a mandar un “geo” como solución?
      Yo lo estoy considerando seriamente.
      Por cierto, aunque k sea constante durante la rotación, según mi propio “geo”, y suponiendo que no haya metido la pata, si hacemos k proporcional al ángulo de rotación de P, entonces M produce un círculo concéntrico al original.

            • Cómo os gusta exagerar. Mi Geo es super básico, porque yo soy malísimo.
              Como suele pasar, hay algunos círculos y segmentos auxiliares ocultos que permiten que todo funcione. Si queréis saber cómo he hecho algo, os lo explico en un pispas.

              En cuanto al círculo concéntrico, es una burrada mía. Me explico:
              Cambié la longitud del segmento PM (lo que cambia la posición de M) para que fuera 20*AP/alfa en vez de AP/k, siendo alfa el ángulo de rotación de P. Multipliqué por 20 porque al dividir por alfa en grados quedaba un segmento muy pequeño.

              Así, la posición de M dependía doblemente de la posición de P (del ángulo alfa), y ya no tenía relación alguna con k, lo que viene a ser como modificar k para que sea proporcional a alfa (variable) en vez de ser constante e independiente. Pero los cálculos para M en realidad ya no contenían ningún k, mientras que el centro seguía dependiendo de k: (1/k,0). Una burrada, vaya.
              En esas condiciones anormales, al activar el rastro del punto M y mover P, el radio del círculo de M iba creciendo con alfa, y a pesar de tener el centro desviado, la trayectoria final de M era un círculo algo menor al original y concéntrico con él.
              Curioso, pero corramos un tupido velo…
              Supongo que de hacerlo bien saldrá alguna exponencial o qué se yo.

    • Enhorabuena.
      Por todo.

      Me preocupa que consideres que es fácil equivocarse.
      Yo no he he calculado prácticamente nada. Bien dibujado sale sólo. Mi solución la ha sacado el Geogebra prácticamente sin tener que pensar.
      Tenía previsto atacar a mano mañana, ahora que sé todo lo que hay que saber, pero empiezo a preocuparme.

      • Enhorabuena Sebas.
        Esta vez parece que no me he equivocado, y eso es de extrañar.
        Curioso desafío, lástima que no sepa explotar todas esas cosas que sabéis.
        Al principio casi me daba miedo. Cuando veo tres líneas mal puestas y unas cuantas letras, parece que se me bloquea la cabeza.

      • Considero que el Geo te deja las evidencias de parte de la solución que se supone hay que demostrar
        En un borrador (que he enviado) había cambiado la relación por otra y me han dado un tirón de orejas… y tu dices que no has calculado nada??…entonces hay Pitagóricos y Pitagóricos…

        • Borrador a mano más o menos acabado
          No veo nada complicado. Me habías asustado un poco, y, de hecho, me he liado algo con la tercera pregunta, pero era algo totalmente innecesario.
          Todo se puede demostrar con Pitágoras y muy poquito más.
          Supongo que, en este caso al menos, manipular las cosas con el Geo me ha abierto los ojos.
          O igual es que no estoy siendo riguroso en el desarrollo. Todo puede ser.

  5. He estado fuera esta mañana, así que en primer lugar feliz cumple a todos y en cuanto al Geo creo que merece la pena colgarlo, aunque en el se vea la respuesta, siempre queda, para aquel que todavía no haya participado, el demostrarlo mediante fórmulas o cualquier otro método.
    Realmente el Geo de SPZ es muy bueno y conociendo a Sebas, no creo que le vaya a la zaga.
    Avanti pues esos Geo.

    • No exageremos. la segunda es cierto que no hace falta calcular nada. Lo que ocurre es que he pasado a limpio, con lo que me he ahorrado algo, y además es una exposición muy resumida.
      Mentalmente se pueden hacer varias cosas, otras hay que anotarlas para hacer alguna suma.
      y no voy a negar que he emborronado alguna que otra página para simular lo que otros habéis hecho con el geo.

  6. Supongo que estaréis de siesta porque me sorprende que no hayáis comentado nada de estos maestro del Geo, Hacía lustros que no oía la palabra pantógrafo y la última vez lo usé en el instituto, desde luego era más complicado que mover este de Sebas.

    • Son magníficos y demuestran un gran dominio. El de SPZ da la k para cualquier situación pulsando sobre g. Lo digo porque yo pulsaba sobre la p y no se movía nada. Acostumbrado a los de Sebas que está uno.

      • Primero lo hice con la P móvil, pero hice un intento de convertirlo en un GIF animado, y necesitaba que P rotara por medio de un deslizador.
        Cosas del Geogebra. Si os gusta más mover P con el ratón os mando otro.
        Luego resultó que el GIF no se puede colgar en el blog, así que el deslizador no ha servido de nada.
        Por cierto, no es una g. Es alfa.
        El Geo es algo más complicado de la cuenta (y con demasiados textos) porque no tenía muy claro si iba a mandar una solución textual razonada y quise meterlo todo. Hasta longitudes de segmentos que no sirven de nada.
        También hay líneas extra que tampoco pintan nada (las punteadas que salen de M y N). Las puse para resaltar que siempre son paralelas a los otros segmentos y que hay proporcionalidades por todas partes. Lo mismo con los tres radios.

        Al final había decidido preparar una solución convencional, pero ya no sé si merece la pena. La verdad es que el Geo lo dice todo, y como tú mismo bien dices, bastante mejor que mil palabras.

        Si Maito me da permiso, me ahorro los razonamientos, que por otra parte son un poco de Pitágoras y un par de proporciones, y lo doy por solucionado.

        • Supongo que eso explica tus complicaciones calculando. Ya me parecía raro que te liaras con este desafío.
          Lo gracioso es que colaboraste en la redacción final sin acabar de leerlo.
          En cualquier caso, lo de “equidistante” afecta sólo a la respuesta 3, así que ahora soy yo el que no entiende qué es lo que no entiendes de mi respuesta 2.
          Si hubieras tenido dudas en la 3 sería más lógico. ¿También te has liado en la 2?

          • El enunciado no es mío únicamente le hice unas observaciones, para empezar el problema lo hice por geometría analítica sin tener en cuenta a quien llamaba la relación “k”, después olvido la particularidad de “equidistante” y por último (de momento) me lio con el 2 y el 3. Ahora veo la insistencia de Maito en 3, pues yo lo dejaba en general
            Ahora añadiré la particularidad a la solución

    • En efecto se agradece el detalle, que curiosamente al igual que un servidor tiene gafas y poco pelo, espero que sea objeto de la casualidad y no de una red de espionaje a lo Vigilados, pero bueno en esta caso no aplica lo de Person of Interest

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