Desafío 36

Rectángulo (Sebas)

En un rectángulo ABCD tal que AB<BC<2AB, trazamos la diagonal AC, por B y D trazamos las perpendiculares BE y DF a la diagonal. Con centro en E trazamos una circunferencia que pasa por B y otra en centro F que pase por C, estas circunferencias se cortan G.

Demostrar que en el triángulo que se forma con vértices en E, F y G, la mediatriz de EF y la bisectriz de EFG cortan al lado EG en el mismo punto H.

Soluciones antes de las 23:59:59 h del lunes a solucionesclubpitagoricos@gmail.com

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39 pensamientos en “Desafío 36

  1. No estoy muy seguro pero creo que tengo una solución gráfica.
    También estoy intentando unas ecuaciones prometedoras, pero como casi siempre, me estoy liando.

  2. Me lo llevaré el fin de semana. Por ahora poco puedo decir, he hecho un esbozo por angulaciones, y aparte de ver algún triángulo isósceles, y suponer que tiene que haber alguno más, poco que añadir.
    Ya os comentaré a la vuelta.

  3. Sabido es que con los calores del verano los asiduos vamos mermando, aparte de esto, los escasos Comentarios del presente Desafío me hace suponer que los Desafiados o bien lo tienen muy claro o algo negro
    Al decidirme a colgar el Desafío, tenía una demostración, si bien era consciente de pueden ser múltiples, me he sentido Desafiado y he tomado papel y lápiz, en este momento tengo varias, pero todas ellas, de momento, giran en torno de las concretas y serias palabras de Rubenman ………“triángulo isósceles”

    • De momento la solución gráfica se me resiste….. pero insistiré
      Otro camino con ecuación trigonométrica, se las trae, pero despues de darle las vueltas que suelo dar ….. me la he “cargado” no se ha resistido
      Analiticamente no es complicado y da varias opciones
      Con la simple trigonométria que hemos manejado por aquí considero que es lo mas sencillo,… a la espera de las aportaciones de los Desafiados.
      A la altura que estais, supongo que vuestro verdadero problema radica en demostrar que el ángulo EFG es doble del FEG.
      De momento todas mis “demostraciones” giran en este sentido

      • Pues sí. Estoy en lo del ángulo doble, y de momento con simple trigonometría, pero me parece que tendré que abrir los libros, irme a la analítica, y quién sabe si tendré tiempo, ganas y lucidez para acabar. Como helado está resultando bastante grande.
        Tengo los tres lados y los dos ángulos interesantes en función de los lados del rectángulo original, y he usado el coseno del ángulo mitad para ver si las expresiones de los ángulos se pueden igualar, pero no puedo. Numéricamente coinciden, así que deben estar bien, pero no me sale.

        • “Tengo los tres lados y los dos ángulos interesantes en función de los lados del rectángulo original, y he usado el coseno del ángulo mitad para ver si las expresiones de los ángulos se pueden igualar, pero no puedo”
          Todo correctísimo….. Si se puede,… tendrás algún fallo, no es complicado es fácil, de hecho es uno de mis caminos, yo uso el coseno del ángulo doble, pero es lo mismo. Lo tienes resuelto…..repásalo….La analítica tambien es fácil, pero hay otra forma trigonométrica mas sencilla de operar… empezando por el supuesto del ángulo boble, y escogiendo el helado adecuado donde hincar el diente demuestra que tienes razón
          ………..o tú o yo tenemos el dudoso honor del comentario 1000

  4. Es un desafío interesante, y una vida social muy ajetreada me impide dedicarle más tiempo. Hago este comentario para que el retante sepa que estamos por aquí.
    El caso, lo he simplificado al ejemplo más sencillo. Ese en el que el punto “g” coincide con el lado BC, y en ese supuesto la demostración es muy simple. Los ángulos de 60 y 30 nos aparecen por todos lados.
    Estoy empecinado en que me falta un conocimiento matemático olvidado, y que sin internet estoy perdido, para generalizarlo.
    En efecto, fui por la vía del isósceles desde un principio, HF paralela a GC, etc.. etc.
    Ahora bien, lo que más me mosquea, y creo que tiene que haber una puerta ahí, es que el segmento que une las dos intersecciones de las dos circunferencias, tiene que ser obligatoriamente la mediatriz del segmento EC.
    No puedo mandarte nada porque estoy sin ordenador, sin compás y sin tiempo. Unas hojas emborronadas.
    Seguiremos.

    • Este Desafío lo he basado en trigonometría muy manoseada en el Blog, no hace falta que consultes nada, salvo que no recuerdes lo que anteriormente has utilizado, pero como en muchos casos, del mechero no nos salta la chispa en el momento deseado. El comentario, como supondras, es para animarte a que sigas emborronando papel, pero en ningún momento dejes que este entretenimiento te aparte de la vida social y familiar..

  5. Tarzan me ha enviado su solución, buen trabajo, camino algo distinto a los que tengo ultimados
    Está invitado a que nos eche una mano en Comentarios
    Aprovecho para saludar a los demás colegas de Brasil, ultimamente sus visitas superan el 25% de las visitas de los españoles, hay espacio para todos en Desafíos, Soluciones y Comentarios

  6. Yo también lo tengo, y ya me perdonaréis, pero me voy a conformar con lo que me ha salido. Lo tenía todo bien. No había nada que corregir.
    Me ha resultado más fácil con el ángulo doble que con el ángulo mitad, pero sólo de casualidad.
    Mi habilidad algebraica deja mucho que desear, así que ha resultado un poco indirecto, pero funciona. Cuando pueda mando mi solución.
    Y a ver si empaqueto mi desafío planetario de una buena vez…

  7. Siento que el texto tal como lo mandaba tampoco me lo ha dejado colgar a mi, cortandolo y variando poco, si ha podido ser
    El Mecánico Mayor y Oficial del Blog, SPZ, ha desmpolvado los alicates y la llave de rodillo, y nos prepará un “cajón” donde meter todo lo que deseemos, nos servirá de una forma u otra para “meter” los comentarios censurados ….
    SPZ….. toma nota

  8. Estoy de fiestas en el pueblo, y he pasado por casa de mi hermana. Con el paint, he hecho una probatina, y creo que no va mal encaminada, con las alturas del triángulo en cuestión y el de la izda, puedo completar una circunferencia que circunscribe cuatro puntos, parece que promete, pero no tengo la cabeza muy lúcida (y el calor nada tiene que ver).
    Un saludo, y ya lo completaremos cuando el cuerpo esté en mejor estado….

    • El calor es posible que no tenga nada que ver…… pero los “calores” de las fiestas de pueblo……
      De momento dos Pitagoricos han llegado a puerto, y ha sido el camino que les ha subido los “calores”

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