Desafío 8

Rebajas de Pintura 2012 (Superpanzeta)

Para decorar las rebajas de este año, el dueño de una ferretería le encarga a un empleado que pinte un gran cartel con el número 2012 gastando la mínima cantidad de pintura posible, o de lo contrario será despedido. El jefe proporciona al empleado una plantilla prefabricada (de esas agujereadas) con los dígitos del 0 al 9 en el tamaño deseado.

Al empleado le gustan las matemáticas, ha encontrado otro trabajo mejor, y su jefe no le cae nada bien, así que decide cumplir el encargo fielmente, pero estropeando a la vez el cartel.

Para ello, investiga si puede escribir el número 2012 (aquí representado en base 10) en alguna otra base que le permita ahorrar pintura y que no requiera utilizar dígitos ni símbolos aparte de los contenidos en la plantilla de 0 a 9 (10 símbolos). Cada símbolo deberá ser interpretado con su valor habitual, y deberá haber un sólo símbolo por cada dígito.

No se debe añadir la base elegida al cartel. Sólo se representará el número, y así nadie sabrá interpretarlo excepto el currante.

Para hacer los cálculos, supongamos que el coste en botes de pintura de cada dígito pintado es igual al valor del dígito. Es decir, pintar un 1 requiere 1 bote de pintura, pintar un 2 requiere 2 botes, y así hasta el 9, que necesita de 9 botes. Para que el 0 no salga gratis, pondremos que pintar un 0 requiere 10 botes de pintura.

Ejemplo:
Pintar el número 2012 en base 10 (2012), requeriría 2+10+1+2 = 15 botes de pintura.

Como el currante no tiene mucho tiempo para pensar el cartel, empieza explorando bases pequeñas y va subiendo hasta la base 10 incluida, dando por bueno el mínimo encontrado hasta entonces.

El desafío consiste en averiguar (se debe dar un ejemplo válido para cada respuesta):

1- Cuántos botes de pintura utilizará el currante (máximo base 10).
2- Cuántos botes de pintura son el mínimo posible (cualquier base).

Y para quien le haya parecido poco, puede entretenerse en averiguar (se sugiere hacerlo directamente con ordenador):

3- Cuántos botes de pintura son el mínimo posible si utilizamos bases hasta 1000.
4- Cuántos botes de pintura son el mínimo posible si utilizamos bases hasta 2000.

Solución

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